- •Матрицы. Основные определения. Симметричная, диагональная, единичная, треугольная матрицы.
- •Умножение матриц. Свойства действий над матрицами.
- •9. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения.
- •10. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений.
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •36. Частное и полное приращение функции. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.
36. Частное и полное приращение функции. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.
Пусть х->дельта х
Тогда z->дельта z
Дельта z=а(х+дельта х,у)-f(x,y) –часное приращение функции z=f(x,y) по х
(аналогично по у)
Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх -> 0 и Dу -> 0 соответственно.
Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х над пределом отношения частного приращения дельта z к приращению аргумента дельта х
Zx’=dz/dx=lim дельта хZ/дельта х
Дельта х->0
Градиент функции – вектор составленный из частных производных функций (gradz)
Частным дифференциалом по х функции z=f(x,y) называется произведение частной производной по х на приращение аргумента дельта х (аналогично по у)
Dxz=Zx-дельта х
Полным приращением дифференциала функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения функции дельта z вызванного приращением аргумента х и у 38. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
Дельта z=f(х+ дельта х,у+дельта у)-f(x,y) 39. Производные высших порядков для функции 2-х переменных. Теорема о смешанных производных.
Z=f(x,y)
Zx’,Zy’-непрерывные и дифференцируемые
Теорема: если обе смешенные производные d2z/dxdy и d2z2/dydx определены в окресности некоторой (.)М0(х0,у0) и непрерывна в этой точке, то они равны друг другу:Zxy’’=Zyx’’
40. Экстремумы функции 2-х переменных. Необходимое условие существования экстремум.
Функция z=f(x,y) имеет в (.)М0(х0,у0) экстремум если такая окрестность в (.)М0, для всех точек которой f(x0,y0)>или <f(x,y)
Если в (.)М0 (х0,у0) дифференцируемая функции z=f(x,y) имеет экстремум,то ее частные проиводные Zx’ и Zy’ в этой точки необходимо = 0
Zx’ dz/dx=0 и Zy’dz/dy=0 в (.)М0
41. Достаточное условие существования экстремума для функции 2-х переменных..
Составим определитель из частных производных: производных 2го порядка
Определитель=|Zxx’’ Zxy’’|
|Zxy’’ Zyy’’|
Если определитель вычисленный в критической точке М0(х0,у0)больше 0,то в точке М0 есть экстремум при Zxx’’>0-максимум, Zxx’’<0-минимум
Если определитель меньше 0, то в точке М0(х0,у0) экстремума нет, если определитель =0, то ничего определенного сказать нельзя 42. Первообразная и неопределенный интеграл.
Функция F(x) называется первообразной от функции f(x), если для нее выполняется равенство
F ‘(x)=f(x)
Т]Если F(x) первообразная от f(x), то F(x)+C,где С-const,тоже первообразная от f(x)
Множество первообразных вида F(x)+C от функции f(x) называется неопределенным интегралом : интегралf(x)dx=F(x)+C 43. Свойства неопределенного интеграла.
1.(интеграл f(x)dx)’=f(x)-производная от неопределенного интеграла = подынтегральному выражению
2.d интеграл f(x)dx=f(x)dx –дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению
3.интеграл dF(x)=F(x)+C –интеграл от дифференциала взаимно уничтожаются с прибавление производной постоянной
4.интеграл с*f(x)dx=C= интеграл f(x)dx, C-const –константу можно выносить за знак неопределенного интеграла
5.интеграл(f1(x)+-f2(x))dx= интеграл f1(x)dx+- интеграл f2(x)dx – интеграл от алгебраической суммы функции = алгебраической сумме интегралов этих функций
44. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Введение функции под знак дифференциала. Метод подстановки. Интегрирование по частям.
Непосредственное интегрирование- это интегрирование с помощью выполнения алгебраических преобразований, использование свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов
Метод подведения под знак дифференциала основан на равенстве . То есть, главной задачей является приведение подынтегральной функции к виду .
Замена переменной:х=u(t) или t=u^-1
Если подынтегральная функция состоит из сомножителей в этом случае удобно применять функцию интегрирования частями, а именно:
Интеграл u*dw=u*w-интеграл w-du 45. Интегрирование рациональных дробей .Интегрирование простейших дробей.
Рациональной дробью называется выражение вида:
R(x)=Pn(x)/Qm(x), где Pn – многочлен степени n,Qm-многочлен степени m
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь правильная, если степень числителя больше степени знаменателя- неправильная
Интеграл R(x)dx
Перед интегрированием неправильных дробей следует выделить целую и дробную часть, делением столбиком
Интегрирование простейших дробей первого типа
Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:
Интегрирование простейших дробей второго типа
Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:
Интегрирование простейших дробей третьего типа
Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы: Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала: Поэтому, У полученного интеграла преобразуем знаменатель: Следовательно, Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:
Интегрирование простейших дробей четвертого типа
Первый шаг – подводим под знак дифференциала: Второй шаг – нахождение интеграла вида . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. 46. Интегрирование простейших иррациональных выражений.
Используя метод непосредственного интегрирования, достаточно просто находятся неопределенные интегралы вида , где p – рациональная дробь, k и b – действительные коэффициенты.
Бывают случаи, когда уместно использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида , где p – рациональная дробь.
Достаточно часто приходится иметь дело с неопределенными интегралами вида , где p и q – действительные коэффициенты. В этом случае выделяем полный квадрат под знаком корня:
Нахождение множества первообразных иррациональных функций , где M, N, p и q – действительные коэффициенты, очень схоже с интегрированием простейших дробей третьего типа: выполняется подведение под знак дифференциала, затем выделяется полный квадрат подкоренного выражения и применяются формулы из таблицы первообразных.
еопределенные интегралы иррациональных функций вида находятся методом подстановки. В зависимости от рациональных чисел m, n и p вводят следующие новые переменные:
Если p - целое число, то принимают , где N - общий знаменатель чисел m и n.
Если - целое число, то , где N - знаменатель числа p.
Если - целое число, то вводят новую переменную , где N - знаменатель числа p.
47. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Из таблицы первообразных сразу заметим, что и . Метод подведения под знак дифференциала позволяет вычислить неопределенные интегралы функций тангенса и котангенса:
Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой tg = t , х=2 arctgx , которая называется универсальной. В результате этой подстановки имеем
tg x/2= t , x =2 arctgt , sinx = 2t/1+t2, cosx =1-t2 /1+t2 , dx = 2dt/1+t2.
48. Интегральные суммы. Понятие определенного интеграла.
Определенным интегралом называется придел интегральной суммы Римана
limSn = limnn->бесконечности Σf(li)*дельта xj=baинтеграл f(x)dx
n->бесконечности n->бесконечности
Определенный интеграл, где а -нижний придел, в-верхний придел.Придел не зависит не от способа разбивания отрезка [а,в] на элементарные части, не от выбора точки li на каждой из этих элементов частей
49. Связь неопределенного интеграла с определенным. Формула Ньютона-Лейбница.
Формула Н-Л выражает связь определенного интеграла с неопределенным и имеет вид:
ваинтеграл f(x)dx=F(b)-F(a)
baинтеграл f(x)dx = F(x)|ba =F(b)-F(a) 50. Свойства определенного интеграла.
1.интеграл с равными приделами =0
2.От перестановки пределов интеграл меняет знак
3.Постояный множитель можно выносить за знак определенного интеграла
4.Аддитивность:если (.)С принадлежит (а,в), то
ba интеграл f(x)dx= ca интеграл f(x)dx+ bcинтеграл f(x)dx
5.интеграл от алгебраической суммы функций = алгебраической сумме интегралов этих функций
6.Производная определенного интеграла по переменному пределу = подынтегральной функции 51. Вычисление определенного интеграла по частям. Замена переменной в определенном интеграле.
По частям: ваинтеграл u*dw=u*w|ba-baинтеграл w*du
Замена:
baинтеграл f(x)dx=|x=u(t),где|
|t принадлежит [t1,t2]|
|dx=u(t)dt| =t2t1интеграл f(u(t)) u’(t)dt
|x|a|b| |
|t|t1|t |
52. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (1-го рода). Определение. Вычисление. Признаки сходимости.
Несобственным интегралом от функции f(x) называется придел
lim в аинтеграл f(x)dx= бесконечностьаинтеграл f(x)dx
в-> бесконечности
Если lim в выражение lim в аинтеграл f(x)dx= бесконечностьаинтеграл f(x)dx = конечному числу, то говорят что несобственный интеграл сходится
Если lim не существует или равен бесконечности, то говорят что интеграл расходится
в-бесконечностьинтеграл f(x)dx= limва интеграл f(x)dx
а->- бесконечности
бесконечность-бесконечностьинтеграл f(x)dx= c-бесконечность интеграл f(x)dx + бесконечностьсинтеграл f(x)dx 53. Несобственные интегралы от разрывных функций (2-го рода). Определение. Вычисление. .
Пусть функция f(x) не является ограниченной в окрестности точки b, но при любом достаточном малом е>0 является ограниченной и интегрируемой на интервале [a,b-e]. Тогда если существует придел
Limb-eaинтеграл f(x)dx, то этот придел называется не собственным интегралом 2го рода
baинтеграл f(x)dx= limb-eaинтегралf(x)dx
e->0
baинтегралf(x)dx=caинтегралf(x)dx+ bcинтеграл f(x)dx 54. Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости
числовой последовательностью {аn} называется множество значений натуральных чисел и рядов перенумерованный и расположенный в порядке возрастания рядов
бесконечность
а1+а2+…+аn= Σan –числовой ряд
n=1
если сумма ряда конечное число, то говорят, что ряд сходится, если сумма ряда равна бесконечности или не существует, то говорят, что ряд расходится
числовые ряды: с неотрицательными членами и знакопеременные и знакочередующие
Необходимый признак:
Если ряд сходится, то общий член ряда an стремится к 0, т.е. liman=0
n->0
Замечание: у необходимого признака сходимости, есть обратная сторона – достаточный признак расходимости
Если общий член ряда не стремится к 0, при n стремящийся к бесконечности, то ряд расходится 55 .Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами:признаки Даламбера и Коши.
Признак Даленбера
бесконечностьn=1 Σan,an>=0,D=lim an+1/an
n-> бесконечности
придел отношения соотношения последующего члена ряда к предыдущему
D>1-сходится
D<1-расходится
D=1 признак не работает
Признак Коши:
бесконечностьn=1 Σan, an>=0, C=lim nкорень из an
n-> бесконечности
С>1- расходится
С<1- сходится
С=1- не работает