8.2. Уравнения Рейнольдса
При
изучении турбулентных течений обычно
вводят осредненные
значения
компонент скорости
давления
,
плотности
,
температуры
(черточки над, буквами обозначают
осреднение). Тогда скорость потока в
каждой точке пространства в любой момент
времени можно представить в виде суммы
её осреднённого значения и отклонения
от него:
,
(8.9)
где
действительные мгновенные скорости
потока в данной точке,
осредненные по времени компоненты
скоростей,
— отклонения действительных скоростей
от осредненных (пульсации скоростей).
Если
осреднение параметров потока происходит
по времени, то для любого осциллирующего
параметра
его осредненное значение
находится по формуле
,
где
промежуток
времени, называемый периодом
осреднения,
достаточно велик по отношению ко времени
отдельных пульсаций и мал по отношению
ко времени заметного изменения средних
характеристик. Если представить параметр
в виде суммы
,
где
пульсационная составляющая, то
.
Воспользуемся уравнениями движения сплошной среды в напряжениях, выражающими 2-й закон Ньютона (см. гл.1). Для несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил эти уравнения имеют вид:
(8.10)
Учитывая уравнение неразрывности
,
(8.11)
эту систему уравнений можно записать в равносильной форме:
(8.12)
Если часть членов в системе (8.12) перенести из левой части уравнений в правую, то систему можно представить в другом виде:
(8.13)
Согласно (8.9) представим каждый параметр, входящий в систему уравнений (8.13), в виде его осредненного значения и осциллирующей составляющей. Выполним осреднение уравнений (8.13) с учетом следующих свойства операции осреднения:
среднее
значение пульсации равно нулю,
;
среднее
значение суммы параметров равно сумме
средних значений этих параметров,
;
среднее
значение производной от истинной
характеристики турбулентного движения
равняется производной от ее среднего
значения
;
среднее
значение произведения двух сомножителей,
из которых только один испытывает
турбулентные пульсации, равно нулю,
;
осредненное
значение произведения двух пульсирующих
величин равняется сумме произведения
средних величин и среднего значения
произведения пульсаций этих величин,
.
Как результат осреднения получим систему уравнений:
(8.14)
Заметим
далее, что
,
получим
Наконец, полученную систему уравнений можно переписать в равносильном виде, если принять во внимание осредненное уравнение неразрывности
.
(8.15)
Выполнив соответствующие преобразования, придем к системе уравнений, называемых уравнениями Рейнольдса
(8.16)
Эти уравнения отличаются от уравнений движения в напряжениях (8.4) лишь тем, что к осредненным напряжениям добавились дополнительные слагаемые, представляющие собой осредненные значения произведений осциллирующих составляющих скорости течения. Эти слагаемые называют рейнольдсовскими напряжениями в честь крупнейшего английского инженера и ученого Осборна Рейнольдса (1842-1912), много сделавшего для развития теории турбулентности.
Таким образом, показано, что для осредненных параметров турбулентного течения справедливы такие же уравнения (8.10), что и для ламинарного течения, однако тензор напряжений в турбулизованной среде имеет более сложный вид:
.
(8.17)