§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая. З амена параметра.

Пусть  – обычное геометрическое пространство или плоскость. Тогда  является точечным евклидовым пространством. Мы будем вести речь про пространство, но всё сказанное ниже с незначительными изменениями верно и для случая, когда  – плоскость. Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz. Мы будем отождествлять произвольную точку M и её радиус-вектор OM;\s\up10( –(.

Определение. Путем называется непрерывное отображение c: I ^–  , где I – некоторый интервал числовой прямой.

В силу нашей договоренности об отождествлении, можно сказать, что путь – это непрерывная вектор-функция. Подчеркнем, что путь – это отображение. А, вот, кривая – это множество в пространстве.

Определение. Пусть c: I ^–  – путь. Тогда его образ – множество  = c(I) в пространстве называется кривой. Bектор-функция c(t) называется параметризацией кривой  . Запись

x = c₁(t),

y = c₂(t),

z = c₃(t), t  I,

называется параметрическими уравнениями кривой . Если использовать обозначение r;\s\up8(–( – это вектор с текущими координатами (x, y, z), то параметрические уравнения можно записать в виде одного векторного равенства r;\s\up8(–( = c(t).

Замечание. При таком определении кривая может выглядеть совсем непохоже на интуитивное представление о кривой. Например, кривая Пеано проходит через каждую точку квадрата, и поэтому она имеет ненулевую площадь. Такой пример рассматривается в рамках спецкурса по топологии. Поэтому один из вариантов определения заключается в следующем. Кривой называется множество  в пространстве или на плоскости, гомеоморфное открытому интервалу числовой прямой. Тогда гомеоморфизм c: I ^–   

называется параметризацией кривой . Но при таком определении мы отбрасываем кривые с самопересечениями и даже окружность. Поэтому это определение тоже несовершенно. Это говорит о том, что понятие кривой, на самом деле, не такое простое.

Определение. Кривая  называется гладкой класса Cⁿ(регулярной) если у нее существует гладкая класса Cⁿ(регулярная) параметризация. Термин «гладкий» является синонимом термина «дифференцируемый».

В ы привыкли, что если функция дифференцируема, то ее график не имеет изломов. Но кривая, определяемая вектор-функцией не является ее графиком.

Пример 1. Путь c(t) = (t², t³), t  R определяет на плоскости кривую, которая называется полукубической параболой. Этот путь гладкий класса C^(R). Имеем c(t) = (2t, 3t²) и c(0) = o;\s\up8(–( , т.е. данный путь

не является регулярным. Причем, регулярность нарушается как раз в той точке, где кривая имеет излом.

Из теоремы 1 (следующий параграф) следует, что гладкая класса C¹ регулярная кривая не имеет изломов.

Определение. Путь c называется простым, если c – взаимнооднозначное отображение.

Простой путь задает кривую без самопересечений: при движении по кривой мы проходим каждую точку ровно один раз. Путь из примера 1 является простым.

П ример 2. Путь c(t) = (a cos t, a sin t ), t  R определяет на плоскости окружность радиуса a с центром в начале координат. Этот путь не является простым: в процессе изменения параметра мы «проходим» через каждую точку окружности бесконечное количество раз.

Пример 3. Одна и та же кривая может задаваться разными параметрическими уравнениями. Например, верхняя половина полукубической параболы может быть задана следующими уравнениями.

x = t², x = e^2,

y = t³, t  (0, + ) y = e^3,   R

Ясно, что вторая система получается из первой с помощью замены t = e^,   R . Обозначим () = e^ ; тогда  – это отображение : R ^– (0, + ). Отсюда возникает понятие «замена параметра».

Пусть c: I ^–  – путь, задающий кривую , а I₁  R – другой интервал числовой прямой. Пусть : I₁ ^– I ,– непрерывное отображение, t = (u). Рассмотрим композицию отображений d = c_: I₁^– , d(u)= c((u)). Это будет другой путь, но его образ

d(I₁) – та же самая кривая . Говорят, что отображение  осуществляет замену параметра кривой.

Определение. Замена параметра : I₁ ^– I называется допустимой, если  – дифференцируемая функция и (u)  0  u I₁.

Пусть c – регулярный путь. Тогда

d(u)= c((u)) = (u)c(t).

Мы видим, что путь d(u) является регулярным тогда и только тогда, когда замена параметра является допустимой.

Определение. Регулярные пути c: I ^–  и d: I₁^–  называются эквивалентными, если существует такая допустимая замена параметра : I₁ ^– I , t = (u), что d = c_. Иногда говорят, что регулярная кривая – это класс эквивалентных друг другу регулярных путей.

Можно сказать, что эквивалентные пути имеют одинаковую траекторию, но проходят ее за различные промежутки времени и с разной скоростью.

Например, замена параметра t = e^, является допустимой, и поэтому пути c(t) = (t², t³), t  (0, + ) и d() = (e^2, e^3), R являются эквивалентными.

Упражнения. 1. Является ли регулярным путь (a cos³t, a sin³t), tR ?

2. Является ли допустимой замена параметра t = , u  R ? В какой интервал она переводит числовую прямую?