Закон парности касательных напряжений

В окрестностях произвольной точки напряжённого тела выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. На каждой из граней действует по три составляющих напряжения – нормальное напряжение и два касательных (рис. 20).

Рис. 20

Составим уравнение равновесия выделенного элемента в форме суммы моментов всех сил относительно оси X:

М_х = 0,

_уdxdzdy - _уdxdzdy + _zdxdydz - _zdxdydz + _xydydz - _xydydz +

+ _xzdydz - _xzdydz + _zydxdydz - _yzdxdzdy = 0,

приведя подобные слагаемые и упростив выражение, получим:

_zy = _yz. (29)

Составляя уравнения равновесия относительно осей Y и Z, получим аналогичные выражения:

_zх = _хz, (30)

_хy = _yх.

Полученные выражения (29), (30) определяют закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от него.

Напряжения на наклонных площадках

Элементарный объём в форме параллелепипеда, расположенный таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной плоскостью (рис. 21).

Рис. 21

Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали  с направляющими косинусами l, m, n. На наклонной площадке площадью dF действует полное напряжение Р с проекциями по осям Р_х, Р_у, Р_z. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке – _ и _. Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади:

dF_x = dFl, dF_y = dFm, dF_z = dFn.

Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х:

Х = 0,

P_xdF - _xdF_x - _yxdF_y - _zxdF_z = 0,

P_xdF - _xdFl - _yxdFm - _zxdFn = 0,

P_x = _xl + _yxm + _zxn. (31)

Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси Y и Z, получаем выражения для двух других проекций полного напряжения:

P_y = _xyl +_ym + _zyn,

P_z = _xzl + _yzm +_zn. (32)

Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем проекции полного напряжения на нормаль.

_ = P_xl + P_ym + P_zn =

= _xl² + _yxml + _zxnl + _xylm +_ym² + _zynm + _xzln + _yzmn +_zn² .

С учетом закона парности касательных напряжений – (29) и (30), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений:

_ = _xl² + _ym² +_zn² + 2_yxml + 2_zxnl + 2_zynm. (33)

Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке:

Р² = P_x² + P_у²+ P_z² = _² + _²,

_²= P_x² + P_у²+ P_z² - _². (34)