Алгебра матриц (повторение).

Линейные преобразования наглядно записываются в матричной форме, поэтому часто используются операции над матрицами. Необходимо сделать небольшой экскурс в матричную алгебру.

Сложение и разность матриц. Пусть А и В – матрицы размеров тп. Мы можем сопоставить им третью матрицу С размеров тп, элементы которой с_ij, связаны с элементами а_ij и b_ij матриц А и В равенствами:

(i = 1, .... т, j= 1, ..., n).

Сумма матриц В и -А называется разностью матриц В и А и обозначается (В – А).

Умножение матриц

- на число: Матрица С, элементы которой равны произведениям элементов аij матрицы А на число α называется произведением A на α и обозначается αA. Мы имеем

(i = 1, ..., т, j= 1.....n).

- двух матриц: Для двух матриц А размером (тn) и В размером (nр):

произведением матриц является матрица С = А В размером (тр)

для которой элементы С_ij вычисляются по формуле:

Правило вычисления элементов матрицы С можно легко запомнить по названию "строка на столбец". И действительно, для вычисления любого элемента С_ij необходимо умножить элементы i-й строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы В.

Произведение матриц определено только для случая, когда количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.

Обратная матрица.

Матрица X называется обратной для. матрицы А, если ХА = АХ = Е, где Е - единичная матрица. Две матрицы могут быть перестановочны только в том случае, если они обе - квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому иметь обратную может только квадратная матрица.

Преобразования в матричной форме.

Итак, преобразование можно описать следующими уравнениями:

где А, В, ..., L – константы;

х, у, z – координаты до преобразования;

– новые координаты точек объектов.

В матричном виде

Нижняя строка – результат того, что мы переходим к однородным координатам, чтобы учесть коэффициенты D, H и L (без этого невозможно совершить, например, операцию переноса).

Аффинные преобразования объектов на плоскости (2d).

Аффинные преобразования объектов на плоскости описываются так:

где А, В, ..., F – константы;

х, у – координаты до преобразования;

X, Y – новые координаты точек объектов.

Рассмотрим частные случаи аффинного преобразования.

1. Сдвиг (параллельный перенос).

в матричной форме выглядит:

Обратное преобразование позволяет рассчитать старые координаты точек объектов по известным новым координатам:

2. Растяжение-сжатие (масштабирование).

Необходимо отметить, что это, вероятно не очень удачное название, так как для некоторых типов объектов размеры и форма не изменяются, на­пример, для точечных объектов. По-другому это преобразование можно назвать масштабированием.

в матричной форме выглядит:

Обратное преобразование:

в матричной форме выглядит:

3. Поворот вокруг центра координат (0, 0).

в матричной форме выглядит:

Формулы для обратного преобразования можно получить, если предста­вить себе поворот точки с координатами (X, Y) на угол (-α ):

в матричной форме выглядит: