3. Определение расчетных усилий

При определении усилий в стержнях фермы используются, обычно, один из трех методов расчета:

- построение линий влияния;

- метод вырезания узлов (графоаналитический);

- построение диаграммы Максвелла-Кремоны (графический).

При выполнении точных расчетов используют метод построения линий влияния. Так, например, для каждого стержня положение снеговой нагрузки индивидуально. Точно определить это положение можно путем построения линий влияния усилий в стержнях фермы, загружением которых и определяются расчетные усилия.

Аналитический метод вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению каждого из узлов фермы, начиная с узла имеющего два неизвестных, и нахождением расчетных усилий в элементах узла.

При выполнении настоящего расчета предпочтительнее пользоваться методом построения диаграммы Максвелла-Кремоны, более того, при симметричной ферме и симметричной на ферму нагрузке достаточно построение только одной диаграммы от односторонней единичной нагрузки. При несимметричной ферме потребовалось бы построение двух диаграмм от единичных узловых сил на одном и другом полупролете.

Последовательность построения диаграммы (рис. 2) следующая:

- вычерчивается (в масштабе) схема фермы и аналитически вычисляются все длины стержней. Эти величины указываются на схеме;

- к узлам фермы с одной стороны от оси ее симметрии прикладываются единичные силы, а также вычисленные опорные реакции, при этом на стороне полуфермы ненагруженной единичными силами величина опорной реакции составляет единицу (опора В);

- цифрами (или буквами) именуются все внешние (участки между соседними силами по контуру фермы) и внутренние (замкнутые участки внутри контура фермы, ограниченные соответствующими стержнями) поля схемы фермы;

- в выбранном масштабе строится многоугольник внешних сил при обходе фермы по часовой стрелке. Каждая сила обозначается двумя цифрами, которыми именованы примыкающие к ней поля (например, опорная реакция А именуется как 1-2, но не 2-1);

- к многоугольнику внешних сил последовательно пристраиваются узловые многоугольники сил обходом каждого узла по часовой стрелке. В силу равновесия узлов многоугольники должны быть замкнуты. Построение необходимо начинать с узла, в котором сходятся два неизвестных усилия (левый верхний узел). Затем последовательно переходить к узлам, в которых оказываются неизвестными также два усилия (опорный узел; верхний второй узел; верхний третий; нижний второй и т.д.). В некоторых фермах при построении диаграммы может оказаться, что узлы фермы с двумя неизвестными отсутствуют. В этом случае одно из усилий определяют аналитически и в выбранном масштабе вносят в диаграмму. Усилие в каждом из стержней обозначается на диаграмме номерами примыкающих полей схемы.

После построения многоугольника сил для рассматриваемого узла определяются знаки усилий в каждом стержне:

узел на схеме фермы обходится по часовой стрелке, начиная с известного усилия;

по замкнутому многоугольнику узла диаграммы определяются направления усилий;

направления усилий отмечаются на схеме стрелкой у узла (стрелка к узлу – стержень сжат, стрелка от узла – стержень растянут). Например, на раскосе 8-9 (опорный узел) стрелка направлена вниз к узлу – раскос сжат. При рассмотрении опорного раскоса в составе верхнего второго узла (раскос именуется 9-8) стрелка также направлена к узлу, т.к. стержень сжат. В стержне 9-1 панели нижнего пояса опорного узла стрелка направлена от узла – стержень растянут и т.д.

Полезно перед началом построения диаграммы выявить стержни с нулевыми усилиями. Усилия таких стержней на диаграмме превращаются в точку (стержень 3-8, 16-17, 7-19).

Правильность построения диаграммы проверяется при завершении ее построения. Последний силовой многоугольник узла должен быть замкнут (усилие в опорном раскосе 18-19 должно замкнуться в точке 19). При небольшом расхождении величина неточности построения диаграммы разгоняются обратным построением диаграммы. При значительной ошибке необходимо перестроить диаграмму, обращая внимание на правильность определения и изображения крайних сил (единичной нагрузки), приложенных к верхнему поясу фермы, а также опорных реакций.

Измеренные по диаграмме усилия с соответствующими знаками в стержнях фермы, указывающими на сжатие или растяжение, записываются в таблицу 2.

В графе 1 записываются группы стержней, в графе 2 – наименование отдельных стержней фермы с нумерацией от опор. Именовать стержни принято буквами: О – верхний пояс, U – нижний пояс, Д – раскосы, V – стойки. В графах 3 и 4 приведены измеренные по диаграмме усилия от единичной нагрузки в стержнях каждой полуфермы. В графе 5 записываются усилия в стержнях фермы при загружении единичной нагрузкой всех ее узлов, полученные сложением усилий в одноименных стержнях левой и правой полуферм (графы 3 и 4), т.к. усилие, например, в левом опорном раскосе при загрузке правого полупролета будет равно усилию в правом опорном раскосе при загрузке левого полупролета фермы и т.д.

В графе 6 приведены расчетные усилия в стержнях от постоянной нагрузки, получаемые умножением величины узловой расчетной нагрузки (F_g) на величину усилий от единичного загружения (графа 5).

В графах 7 и 8 записываются расчетные усилия от снеговой нагрузки в стержнях, в которых при единичном загружении усилия меняют знак (в графе 7 – умножением значений графы 3 на величину узловой снеговой расчетной нагрузки (F_ρ), в графе 8 – умножением F_ρ на величину значений графы 4). В графе 9 записываются расчетные усилия от снеговой нагрузки, полученные умножением F_ρ на значения графы 5 – усилий одного знака от единичных загружений левой и правой полуферм. В графах 10 и 11 приведены суммарные расчетные усилия от постоянной и временной нагрузок. При этом для стержней со знакопеременным усилием от снеговой нагрузки усилие от постоянной нагрузки складывается с усилием от снеговой нагрузки левой полуфермы, а затем усилие от постоянной нагрузки – с усилием правой полуфермы.

В нижней строчке записываются вычисленные значения опорных реакций.

Таблица 2

Определение расчетных усилий

Группа стержней	Наименование стержней	Усилие от единичного загружения			Усилие от пост. нагрузки Fg=53,9кН	Усилие от снеговой нагрузки Fp=24 кН при загружении:			Расчетное усилие N, кН
		левой половины	правой половины	всей фермы		левой половины	правой половины	всей фермы	Растяж. +	Сжатие -
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Верхний пояс	О1	0	0	0	0	-	-	0	0	0
	О2	-4,96	-2,43	-7,39	-302,25	-	-	-266,04	-	-568,29
	О3	-4,96	-2,43	-7,39	-302,25	-	-	-266,04	-	-568,29
	О4	-3,96	-3,96	-7,92	-323,93	-	-	-285,12	-	-609,05
Нижний пояс	U1	5,0	1,3	6,3	257,67	-	-	226,8	353,74	-
	U2	3,6	3,27	6,87	280,98	-	-	247,32	635,96	-
Раскосы	D1	-4,36	-1,63	-5,99	-244,99	-	-	-215,64	-	-460,24
	D2	1,73	1,3	3,03	123,93	-	-	109,08	133,01	-
	D3	-0,1	-1,13	-1,23	-50,31	-	-	-44,28	-	-94,59
	D4	-1,43	0,83	-0,6	-24,54	-51,48	29,88	-21,6	0,265	-93,58
Стойки	V1	0,5	0	-0,5	20,45	-	-	18	-	-38,45
	V2	-1,0	0	-1	-40,9	-	-	-36	-	-76,9
	V3	0,43	0,43	0,86	35,17	-	-	30,96	66,13	-
Опорная реакция	A,В	3	1	4	163,6	-	-	144	307,6	-