4.1.4 Свободные и связанные вхождения переменных в формулу. Область действия кванторов. Замкнутые формулы.

Определение. Вхождения переменных в атомарную формулу называются свободными. Свободные вхождения переменных в формулы А и В остаются свободными в формулах .

Определение. Вхождение переменной х в формулы и называется связанным. Вхождение других переменных (отличных от х), которые были свободны в формуле А остаются свободными в формулах и . Одна и та же переменная может иметь в одной и той же формуле как свободные, так и связанные вхождения.

Определение. Формула, не содержащая свободных вхождений переменных, называется замкнутой формулой.

Пример 1. Рассмотрим формулу

В этой формуле переменные x и z имеют как связанные, так и свободные вхождения. Переменная y в этой формуле связана.

Определение. В формулах и подформула А называется областью действия квантора по переменной х.

Определение. Областью действия квантора, входящего в некоторую формулу, называется та подформула, к которой он относится. Возможные двусмысленности устраняются введением скобок.

Пример 3. Рассмотрим формулу

.

Область действия квантора  подформула Р(х,у). Область действия квантора  подформула . Область действия квантора  подформула .