Вопрос №9 Знакопеременные ряды Знакопеременные ряды

     Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные  члены, называется знакопеременным.      Знакочередующимся называется ряд вида       , где  .       Ряды вида   также называются знакочередующимися.      Признак абсолютной сходимости      Знакопеременный ряд           (4)      сходится, если сходится ряд                                               (5)      Ряд (4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (4) сходится, а ряд (5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся. При этом сходимость ряда (4) можно в ряде случаев установить без исследования ряда (5).      Признак сходимости Лейбница      Пусть имеется знакочередующийся ряд  .      Если одновременно выполняются следующие два условия:      1)  ,      2)  , то такой ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена:  .

Вопрос №10 Степенные ряды

  Теорема. Если степенной ряд   сходится при x = x₁ , то он сходится и притом абсолютно для всех  .

 

  Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x<x₁ численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии   по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд   сходится, а значит ряд   сходится абсолютно.

 

Таким образом, если степенной ряд  сходится в точке х₁, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2  с центром в точке х = 0.

 

Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех  .

 

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что   ряд абсолютно сходится, а при всех  ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называетсяинтервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

 Пример. Найти область сходимости ряда 

Находим радиус сходимости  .

Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

 

  Теорема. Если степенной ряд   сходится для положительного значения х=х₁ , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри  .

Вопрос №11 Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора: где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена: Разложение некоторых функций в ряд Маклорена     