- •Раздел 1. Элементы математической логики, теории множеств. Основные понятия алгебраических структур: группы, кольца, поля. Глава 1. Элементы математической логики и теории множеств. Содержание
- •Введение
- •§1. Высказывания, операции над высказываниями п.1. Высказывания.
- •П.2. Отрицание высказывания.
- •П.3. Дизъюнкция высказываний.
- •П.4. Конъюнкция высказываний.
- •П.5. Импликация высказываний.
- •П.6. Равносильность (эквивалентность) высказываний.
- •§2. Формулы алгебры высказываний. Законы логики п.1. Определение формул алгебры высказываний.
- •П.2. Законы логики.
- •§3. Предикаты. Кванторы общности и существования п.1. Определение предиката.
- •П.2. Логические операции алгебры предикатов.
- •П.3.Равносильность предикатов.
- •П.4. Квантор общности.
- •П.5. Квантор существования.
- •П.6.Построение отрицания высказываний, содержащих кванторы. Законы Де Моргана.
- •§4. Взаимно обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного п.1.Стандартная форма записи теоремы.
- •П.2. Обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •П.3. Противоположные теоремы.
- •П.4. Теорема, противоположная обратной (доказательство от противного).
- •§5. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). П.1. Множества.
- •П.2. Подмножества.
- •П3. Пустое множество.
- •П.4. Операции над множествами.
- •П.5. Свойства операций над множествами.
- •П.6. Универсальные множества. Дополнение и его свойства.
- •§6. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и фактор множества. Функции. Отношение порядка. П.1. Прямое произведение множеств.
- •П.2. Бинарные отношения.
- •Виды бинарных отношений.
- •Изображение бинарных отношений графами.
- •Запишем это бинарное отношение как множество пар:
- •П.3. Отношение эквивалентности и фактор множества.
- •П.4. Отношение порядка.
- •Упорядоченные множества.
- •П.5. Функции (отображения).
- •Сужение функции.
- •Виды функций.
- •Композиция функции (сложная функция). Суперпозиция функции.
- •Тождественная (единичная) функция.
- •Обратные функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •Задачи.
П.6.Построение отрицания высказываний, содержащих кванторы. Законы Де Моргана.
Рассмотрим предикат: - « - простое число». Тогда
- «все числа простые» – ложное высказывание. Построим отрицание: - «неверно, что все числа простые». Это предложение можно сформулировать иначе, оставив тот же смысл – «существуют не простые числа»: . Получим, что - закон Де Моргана.
При построении отрицания высказывания, содержащего квантор общности, этот квантор общности заменяется на квантор существования, а предикат заменяется на своё отрицание.
Рассмотрим высказывание - «существуют чётные числа». Рассмотрим отрицание этого высказывания: - «неверно, что существуют чётные числа». Иначе это предложение можно сформировать – «все числа нечётные». Запишем это предложение формулой: . Получили
- закон Де Моргана.
При построении отрицания высказываний, содержащих квантор существования, нужно квантор существования заменить на квантор общности, а предикат - его отрицанием. Аналогично строится отрицание высказываний, содержащих несколько кванторов: квантор общности заменяется на квантор существования, квантор существования - на квантор общности, предикат заменяется своим отрицанием.
Пример. - «каждый студент получил оценку» - Истинное высказывание.
- «все студенты получили одну оценку» - Ложное высказывание.
§4. Взаимно обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного п.1.Стандартная форма записи теоремы.
Рассмотрим теорему 1.
: если углы вертикальные, то они равны. Запишем теорему с помощью символов.
: ( , - вертикальные углы), следовательно, .
: если две прямые параллельны, то всякий перпендикуляр, проведенный к одной из них, является перпендикуляром к другой.
Запишем теорему с помощью символов.
: ( , , - прямые), , следовательно, .
Запись теоремы в стандартной форме не единственна. Существуют теоремы, которые нельзя записать в стандартной форме. Например, теоремы существования.
Определение. Будем говорить, что теорема записана в стандартной форме, если её можно записать в форме ,где , - n-местные предикаты. Предикат называется условием теоремы, а - заключением теоремы.
П.2. Обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия.
Определение. Теоремой, обратной к теореме называют теорему , которая записывается в следующей стандартной форме: : .
Построим теорему, обратную к теореме .
: ( - углы) ( ( - вертикальные)). - Ложное высказывание.
Если - истина, то предикат называется достаточным условием для предиката . А - необходимое условие для предиката . Если и - истинны, то предикаты , называется необходимыми и достаточными условиями.
Например, в теореме условие: , - вертикальные углы, это достаточное условие для предиката , а предикат - это необходимое условие для предиката , - вертикальные углы. Т.к. теорема - ложная, то эти условия не являются необходимыми и достаточными условиями.
П.3. Противоположные теоремы.
Пусть теорема записана в стандартной форме.
Определение. Теорема :
- называется противоположной теореме .
Пример. : ( , - углы), ( ( , - не вертикальные) ) – если углы не вертикальные, то они не равны – ложная теорема.