3.2. Основные показатели размеров вариации, их интерпретация

При решении многих практических задач в таможенной статистике часто достаточно указать отдельные числовые характеристики, определяющие особенности того или иного распределения случайной величины. Это прежде всего среднее значение, которое принадлежит к характеристикам положения случайной величины, т. е. представляет такую величину, относительно которой каким-то образом группируются, рассеиваются всевозможные значения случайной величины.

Среднее значение, или математическое ожидание дискретной случайной величины, вычисляется по формуле:

,

где x_i – возможные значения случайной величины X;

p_i – вероятность появления i-го возможного значения случайной величины X.

Математическое ожидание является теоретической характеристикой случайной величины. Эмпирической характеристикой случайной величины является эмпирическая средняя, вычисляемая по формуле

или

где – частота значений x_i при N наблюдениях; ; m_i – количество появлений значений x_i при N наблюдениях.

По мере увеличения числа наблюдений эмпирическая средняя случайной величины приобретает тенденцию стабилизироваться относительно постоянной случайной величины – математического ожидания.

Кроме математического ожидания на практике иногда применяются и другие характеристики положения, в частности медиана и мода случайной величины.

Медианой Ме случайной величины называется такая величина, относительно которой равновероятно получение большего или меньшего значений случайной величины.

Модой Мо случайной величины называется ее значение, обладающее наибольшей вероятностью.

В общем случае, математическое ожидание, медиана и мода не совпадают. В частном случае при симметричном распределении все три характеристики положения случайной величины совпадают.

Для оценки степени разброса, рассеивания значений случайной величины относительно среднего вычисляют следующие характеристики:

– дисперсию;

– среднее квадратическое отклонение;

– коэффициент вариации.

Дисперсией называют математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от своего математического ожидания:

Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение значений случайной величины относительно математического ожидания, т.е. будет больше рассеивание случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение равно положительному значению корня квадратного из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение имеет одинаковую размерность со случайной величиной, в этом состоит ее преимущество относительно дисперсии. Эмпирические значения среднеквадратического отклонения рассеивания вычисляют по формулам:

для несгруппированных данных	для сгруппированных данных

Среднеквадратическое отклонение показывает, на какую величину в среднем по совокупности индивидуальное значение признака отличается от среднего значения.

Применение абсолютных показателей рассеяния в таможенной статистике не всегда удобно, поскольку тот или иной показатель может быть выражен в разных единицах измерения (в разных валютах, единицах веса и пр.). Поэтому, в качестве относительной характеристики рассеяния, используют коэффициент вариации, вычисляемый как отношение среднего квадратического отклонения к эмпирической средней:

Коэффициент вариации может использоваться для сравнения меры рассеивания (колеблемости) случайных величин, имеющих различную размерность. Например, с помощью коэффициента вариации можно оценивать рассеяние среднеконтрактных цен в разных валютах по одному товару, ввозимому из различных стран.

Значение коэффициента вариации по фактическому распределению сравнивают с его значением в эталонном распределении. В качестве эталонного чаще всего используют распределение по нормальному закону, для которого коэффициент вариации не превышает 0,3.

Пример. Рассмотрим в качестве примера ряд распределения контрактов по цене за тонну пшеницы в тыс. долл./т и построим ранжированный ряд.

Таблица 3.4

Ряд распределения контрактов по цене за тонну пшеницы в тыс. долл./т

№ контракта	Цена за тонну
1	0,371	-0,1291	0,0167	-0,0022	0,0003
2	0,31	-0,1901	0,0361	-0,0069	0,0013
3	0,339	-0,1611	0,0260	-0,0042	0,0007
4	0,448	-0,0521	0,0027	-0,0001	0,0000
5	0,471	-0,0291	0,0008	0,0000	0,0000
6	0,485	-0,0151	0,0002	0,0000	0,0000
7	0,387	-0,1131	0,0128	-0,0014	0,0002
8	0,413	-0,0871	0,0076	-0,0007	0,0001
9	0,609	0,1089	0,0119	0,0013	0,0001
10	0,598	0,0979	0,0096	0,0009	0,0001
11	0,504	0,0039	0,0000	0,0000	0,0000
12	0,509	0,0089	0,0001	0,0000	0,0000
13	0,509	0,0089	0,0001	0,0000	0,0000
14	0,701	0,2009	0,0404	0,0081	0,0016
15	0,699	0,1989	0,0396	0,0079	0,0016
16	0,649	0,1489	0,0222	0,0033	0,0005
Итого	0,500125		0,2266	0,0060	0,0064

Таблица 3.2 – Вариационный ряд распределения контрактов по цене за тонну

Группы контрактов по цене за тонну к итогу	Частота f1
До 0,38	3	18,7
0,38 – 0,49	5	31,3
0,49 – 0,62	5	31,3
0,62 – выше	3	18,7
Итого	100%

Для ответов на вопрос о типичности средней контрактной цены необходимо исследовать размер вариации:

тыс. долл./т.

В рассматриваемом примере индивидуальные цен на пшеницу отличаются от средней цены на 29 тыс/долл. Это среднее отличие индивидуальной цены от средней цены.

Для данных табл. 3.1:

Поскольку коэффициент вариации меньше 0,3, то можно сделать вывод, что распределение цен на пшеницу подчиняется нормальному закону.