2. Сущностная характеристика аналитического исследования на оптимум функции одной переменной

2.1.Функция и ее аналитическое (формульное) выражение

«При аналитическом исследовании функции выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование функции по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров функции»⁴.

Аналитическое исследование – это умение отобразить функциональные зависимости, заданные формулами.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x):

«Пусть X и У—некоторые числовые множества и пусть каждому элементу х е X по какому-либо закону / поставлен в соответствие только один элемент у е У. Тогда определена функциональная зависимость у от х по закону у =f{x). При этом х называют независимой переменной {или аргументом), у — зависимой переменной, множество X — областью определения (существования) функции, множество У — областью значений (изменения) функции.

Если множество У значений функции ограничено, то функция называется ограниченной, в противном случае — неограниченной. Задать функцию — значит, указать закон/определения зависимой переменной для каждого значения аргумента из области определения функции»⁵.

Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

Аналитический – с помощью формул.

Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.

В рамках данной работы остановимся только на аналитическом способе задания функций.

Аналитический способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формулы или набора формул.

Приведем примеры аналитического задания функций.

«Пример 1. у=х³. Эта функция задана на бесконечной прямой - ∞< х < ∞. Множество значений этой функции — тоже бесконечная числовая прямая - ∞< х < ∞. Функция называется кубической параболой (рис. 4.1).

Пример 2. y=√1-x².

Функция задана на отрезке [-1,1], множество ее значений — отрезок [0,1]. Это половина окружности, лежащая в верхней координатной полуплоскости (рис. 4.2).

Пример 3.

Название sign происходит от латинского signum — знак. Функция задана на всем бесконечном промежутке (- ∞,∞), а область ее значений состоит из трех чисел: -1,0, 1 (рис. 4.3). Стрелки означают, что полупрямые не достигают точек на оси ординат, так как при х = 0 значение функции определено по другому соответствию.

Рис. 4.3. График функции у = sign x⁶»