2. Уравнение гармонической волны, фазовая скорость

Теоретическое описание волновых процессов осуществляется анало­гично описанию колебаний, что иллюстрирует приведенная таблица. В основе теоретического описания лежат фундаментальные физические зако­ны, например, основной закон динамики поступательного и вращательного движения для колебания маятников, закон Ома для колебаний в контуре, уравнение неразрывности для упругих волн, уравнения Максвелла для электромагнитных волн. Следствием этих соотношений является или диф­ференциальное уравнение колебаний или волновое уравнение. Решением этих уравнений являются функции х(t) и  (х,у,z,t), описывающие колеба­ние и волну.

КОЛЕБАНИЯ ВОЛНЫ

Исходные фундаментальные

соотношения:

• Основной закон динамики;

• Закон Ома.

Исходные фундаментальные

соотношения:

• уравнение неразрывности;

• уравнения Максвелла.

Дифференциальное уравнение

колебаний

Дифференциальное волновое уравнение

Уравнение колебания х(t)

Уравнение волны  (х,у,z,t)

Параметры колебания

(A, T, , , )

Параметры волны (,, k, v, T, A)

Волны имеют различную физическую природу, механизмы распро­странения возмущений в пространстве сильно отличаются друг от друга, но распространение всех волн описывается одинаковыми дифференциаль­ными уравнениями в частных производных, которые называются волно­выми уравнениями. Распространение волн в однородной изотропной непоглощающей среде описывается линейным дифференциальным волновым уравнением в частных производных второго порядка:

(3)

здесь  (х,у,z,t) - физическая величина, которая характеризует возмущение, распространяющееся в среде со скоростью v, например, смещение частиц упругой среды  (х,у,z,t), напряженности электрического Е (х,у,z,t) и маг­нитного Н (х,у,z,t) полей для электромагнитной волны;  - дифференци­альный оператор Лапласа -

.

Решением дифференциальных волновых уравнений типа (3) всегда является функция  (х,у,z,t), называемая уравнением волны, которая находится с учетом начальных и граничных условий, отвечающих физической постановке задачи.

Наиболее распространенными являются бегущие гармонические волны, то есть волны, которые переносят в пространстве энергию. В стоячей волне нет переноса энергии.

Рассмотрим гармоническую плоскую бегущую волну, распространяющуюся в однородной непоглощающей энергию среде вдоль положительного направления оси х (луч). Предположим, что в плоскости х = 0 колебания имеют гармонический характер и функция (0,t), описывающая колебания в этой плоскости имеет вид:

.

(4)

Тогда в любой плоскости х_ (рис. 5) колебания будут отставать от колебаний в плоскости х = 0 на время , необходимое чтобы волна дошла до этой плоскости.

Рис. 5

Следовательно, колебания в плоскости х_ будут иметь вид:

.

(5)

Проведем несложные преобразования:

.

Здесь величина , называется волновым числом. Это число показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2.

Таким образом, уравнение плоской волны имеет вид:

.

(6)

Полученное уравнение справедливо как для продольной, так и для поперечной плоской волны, распространяющейся вдоль направления оси x. Нетрудно проверить что функция , описывающая плоскую волну, является решением волнового дифференциального уравнения (3), так как при подставке в него обращает его в тождество.

Волновым вектором называется произведение волнового числа на единичный вектор нормали к волновой поверхности. Этот вектор определяет направление распространения и пространственный период волны.

.

(7)

Если плоская волна распространяется в направлении, не совпадающем ни с одной из координатных осей x, y, z, то функцию , описывающую волну в любой точке пространства с радиус-вектором , то есть уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором , будет выглядеть аналогично (6):

.	(8)

В уравнениях плоских волн (6) и (8) амплитуда волн остается постоянной. Это справедливо в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в среде, поглощающей энергию, интенсивность волны постепенно уменьшается - происходит затухание волны и амплитуда ее убывает по экспоненциальному закону. Соответственно, уравнение плоской волны в затухающей среде имеет вид:

,

(9)

где  - коэффициент затухания.

Любой реальный источник волн обладает конечной протяженностью. Однако на больших расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, источник можно считать точечным. В силу центральной симметрии в однородной и изотропной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Ее уравнение имеет вид:

(10)

Из (10) видно, что амплитуда сферической волны, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной - она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. Амплитуда сферической волны уменьшается, так как энер­гия колебаний по мере распространения волны распределяется на все большее число частиц среды.

Произвольная волна может быть представлена в виде совокупности пло­ских гармонических волн с различными волновыми векторами, частотами, амплитудами и начальными фазами. Такое представление основано на возможности разложения периодической функции в ряд Фурье или выра­жение непериодической функции с помощью интеграла Фурье, а также на принципе суперпозиции волн. Совокупность гармонических волн (мод), в ре­зультате наложения которых получается рассматриваемая волна, называет­ся спектром волны. Совокупность значения амплитуд и частот этих гар­монических составляющих называется соответственно спектром амплитуд и спектром частот.

Предположим, что в волновом процессе фаза постоянна, то есть

.

Продифференцировав это выражение и сократив на , получаем

, откуда следует, что (11)

есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, ее называют фазовой скоростью.

Фазовую скорость можно выразить через волновое число (11)

Дисперсией волн называется явление зависимости фазовой скорости волн в некоторой среде от их частоты v().

Среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.