- •Разложение функций в степенные ряды
- •1.1. Ряды Тейлора и Маклорена
- •1.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
- •Некоторые приложения степенных рядов
- •Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •2.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений
1.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Для разложения функции в ряд Маклорена (1.3) нужно:
а) найти производные
б) вычислить значения производных в точке ;
в) написать ряд (1.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;
г) найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.
Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при .
Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Докажем формулу (1.4). Пусть .
Имеем:
т. е. ряд сходится в интервале ;
г) для всех имеем т. е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, по теореме 2 Таким образом,
Докажем формулу (1.5). Пусть .
Имеем:
Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех ;
любая производная функции по модулю не превосходит единицы,
Следовательно, по теореме 2 имеет место разложение (1.5).
Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение. Так как , то заменяя х на в разложении (1.4), получим
.
Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции
Решение. Так как
то, воспользовавшись формулой (1.9), в которой заменим х на , получим:
,
если
Некоторые приложения степенных рядов
Приближенное вычисление значений функций
Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью .
Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд
и , то точное значение равно сумме этого ряда при , т. е.
,
а приближенное – частичной сумме , т. е.
Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т. е.
,
где
.
Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.
Для рядов лейбницевского типа
В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.
Пример 3. Найти с точностью до 0,001.
Решение. Согласно формуле (5),
Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как то для нахождения с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:
Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член( т. е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение примерно равно 0,84147.
Пример 4. Вычислить число у с точностью до 0,001.
Решение. Подставляя в формулу (4), получим
Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем n слагаемых и оценим ошибку :
т. е. Остается подобрать наименьшее натуральное число n, чтобы выполнялось неравенство < 0,001.
Нетрудно вычислить, ч то это неравенство выполняется при Поэтому имеем:
Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена
,
где с находится между 0 и х1 . В последнем примере Так как то При n = 6 имеем: