дх^к дх дх^н дх’

дх¹ дх'

г,к

(1.10)

§ 2. Контравариантные векторы. Конгруэнции кри­вых. Пусть задана система п функций от перемен­ных х и пусть п функций у* определяются равенствами

(мы предполагаем, что в функции а также в функции

. — поставлены вместо независимых передх> дх¹

менных х' функции ^(х'¹ ... х'^п), входящие в формулы).- Такой вид имеют, например, равенства (1.9).

дх^

Если равенства (2.1) умножить на —. и просуммировать по индексу г от I до п. то в силу равенств (1.10)

получим:

дх'¹ дх¹ дх'¹

Правая часть этого равенства представляет сумму п членов, каждый из которых, кроме члена, в котором / = £. равен в силу (1.5) нулю, а потому вся правая часть сводится к единственному члену /Л Таким обра­зом.

Мы получили бы тот же результат, если уравнения (2.1) относительно чисто алге используя выражение (1.7). Тем не меприем будет применяться очень часто в с тоты.

Тогда в силу (2.2) имеем

Заметим, что мы заменили в равенстве (2.2) фиктивный индекс г на /, так как г у нас уже использовано. Полу­ченное равенство и раЕенство (2.2) аналогичны раЕен- ству (2.1); это дает основания говорить, что соотноше­ния (2.1) обладают групповым свойством.

Если две системы функций, а' и )/' связаны соотно­шениями вида (2.1), то мы говорим, что л' являются компонентами контравариантного вектора в системе х', а X" —компонентами того же вектора в системе х'¹. Из этого определения следует, что любые л функций от х-в могут быть приняты в данной координатной системе за компоненты некоторого контравариантного Еектора, ком­поненты которого в- другой координатной системе опре­деляются рагенствами (2.1). Из равенств (1.9) видно, что первые дифференциалы координат в любой коорди­натной системе представляют компоненты контравари­антного вектора, компонентами которого в другой коор­динатной системе являются первые дифференциалы коор­динат в этой другой С1 стеме. Определенный указанным образом контравариантный вектор задает направление в каждой точке пространства, т. е. поле векторов в обыч­ном смысле, в котором каждый вектор определяет' на­правление в точке. Поэтому будем равноправно упо­треблять термины «вектор» и «векторное поле» ¹).

Согласно теории дифференциальных уравнений такого вида, эти уравнения допускают п—1 независимых решений

имеет ранг л—1. Функции являются решениями уравнения в частных производных *)

Если мы сделаем теперь преобразование координат (1.2), в котором в качестве , где / = 1, .. ., л — 1, возьмем указанные выше решения, а в качестве ^"-какую- нибудь функцию, Еыбрав ее так, чтобы удовлетворялось условие (1.1). то в силу (2.1) получим

Таким образом:

Если задан контравариантный вектор, то можнотак выбрать систему координат, чтобы в ней все компоненты этого вектора, кроме одной, были равны нулю.

Если в равенства (2.4) подставить координаты какойнибудь точки Р, то определятся значения постоянных с’,ил—1 уравнений (2.4) определяют при этих значениях с⁷’ кривую, проходящую через точку Р, т. е. некоторое геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе л—1 уравнений, или, что тожесамое, координаты которых могут бы циями одного параметра. Таким обра: определяют конгруэнцию кривых, так точку пространства У_п проходит оди

где числа с — произвольные постоянные и матрица Ц,

Будем говорить, что эта конгруэ

Эти уравнения представляют частный случай уравне­ний вида:

где /./ — функции от х-в, а )/ — функции.от х'-в, опреде­ленные равенствами (3.2). Как и в § 2, можно показать, что соотношение (3.2) эквивалентно соотношению

и что соотношение (3.: вом (§ 2). Если две сист отношением (3.2), мы бу,и компоненты ковариантт компоненты того же ве1

ковариантный вектор однозначно определяется выбором совокупности п функций в какой-либо определенной координатной системе. В частности, из соотношения (3.1) следует, что если первые производные функции / приняты за компоненты ковариантного вектора, то компонен­тами того же вектора в другой системе также будут первые производные этой функции по новым коорди­натам. Такой ковариантный Еектор называется гради­ентом функции /.

Укажем на то, что в обозначении контравариант- ного вектора индекс ставится вверху, а в обозначении ковариантного Еектора —внизу. В силу такого обозна­чения мы имеем возможность использовать условное обозначение суммы в равенствах (2.1), (2.2), (3.2) и (3.3).

Пусть л¹ и ^ — компоненты соответственно контрава- риантного и ковариантного векторов. Тогда из соотношений вида (2.1) и (3.2), а также из (1.10) получим

В правой части равенства произведем суммирование сначала по к-, приняв во внимание, что, согласно опре­делению символа Кронекера (§ 1), а_ко/^! = и₁-, получим:

Таким образом, выражение к'и./, представляющее собой сумму слагаемых, есть инвариант.

Допустим, наоборот, что имеет место соотношение

4. , в котором ^' — компоненты контравариантного вектора. В силу равенств (2.1) имеем

Отсюда следует, что ^_Л— компоненты ковариан; вектора, если только — компоненты произвола контравариантного вектора. Итак,

Если выражение л'и,- есть инвариант в (или о,,) представляют собой компоненты вектора, то и р.,- (или /.') компоненты в