14.Умножение и деление чисел в форме с плавающей точкой.

Умножение чисел в форме с фиксированной запятой:

При выполнении операции умножения производится определение знака и абсолютного значения произведения. Знак произведения может быть определен путем использования логической функции суммирования по модулю 2.

Определение абсолютного значения произведения производится путем формирования и суммирования частичных произведений при соответствующих сдвигах относительно друг друга.

Пример:

Перемножим числа

Х= +1110₂ → (01110)_пр

У= -1011₂ → (11011)_пр

Определим абсолютное значение произведения:

1110 множимое |X|

^Х 1011 множитель |У|

1110 1е частичное произведение

1110 2е частичное произведение

0000 3е

1110 4е

10011010

Получение общей суммы частичных произведений в цифровых устройствах представляется собой последовательность действий при которой к предыдущей сумме частичных произведений прибавляется с соответствующим сдвигом последующее частичное произведение с образованием новой текущей суммы. Данный процесс продолжается до тех пор, пока не будут просуммированы все частичные произведения, суммирование частичных произведений можно выполнять начиная с первого последовательно двигаясь к последнему или в обратном порядке от последнего двигаясь к первому.

Рассмотрим сумму частичных произведений, начиная с последнего, при умножении чисел предыдущего примера.

1110 4е частичное произведение

11100 сдвиг на один разряд влево

⁺ 0000 3е частичное произведение

11100 текущая сумма

111000 сдвиг на один разряд влево

⁺ 1110 2е частичное произведение

1000110 текущая сумма

10001100 сдвиг на один разряд влево

⁺ 1110 1е частичное произведение

10011010 результат

Из рассмотренного примера видно, что для размещения абсолютного значения произведения двоичных чисел необходимо предусматривать количество разрядов равное сумме разрядов сомножителей. С учетом ранее определенного знака результата произведения будет иметь вид:

(110011010)_пр → (101100101)_обр→ (101100110)_доп

Процесс суммирования частичных произведений начиная с первого частичного произведения рассмотрим на примере умножения дробных чисел 0,1101₂ и 0,1011₂.

0,1101 множимое

^Х0,1011 множитель

01101 1е частичное произведение

01101 2е частичное произведение

00000 3е

01101 4е

00000 5е

0,10001111 результат

0,1101 1ечастичное произведение

⁺0,0110 1 сдвиг вправо

0,1101 2ечастичное произведение

1,0011 1 сумма

0,1001 11 сдвиг вправо

⁺0,0000 3ечастичное произведение

0,1001 11 сумма

0,0100 111 сдвиг вправо

⁺0,1101 4ечастичное произведение

1,0001 111 сумма

0,1000 1111 сдвиг вправо

⁺0,0000 5ечастичное произведение

0,1000 1111 сумма (результат)

В данном случае для сохранения полного абсолютного значения произведения также требуется количество разрядов равное количеству разрядов сомножителей… Если в результате произведения дробных чисел требуется иметь столько же разрядов, что и во множимом числе, то разряды сумм выходящие за пределы множимого при сдвигах не учитываются. При этом количество разрядов для выполнения суммирования и размещения результата сохраняется. В данном случае возможно округление результата, т.е. при наличии единицы в старшем из отбрасываемых разрядов, она прибавляется к младшему из сохраняемых разрядов.

Умножение чисел с плавающей запятой выполняется в соответствии с формулой Z=Х•У= М_Х•2^Рх•М_У•2^Ру = (М_Х•М_У) •2^(Рх+Ру).

Мантисса произведения определяется путем умножения мантисс со множителем. Порядок произведения является суммой порядков сомножителей. Операция умножения реализуется следующей последовательностью

1. Определение знака мантиссы путем суммирования знаковых разрядов мантисс сомножителей по модулю 2.

2. Перемножение мантисс сомножителей, как чисел с фиксированной запятой.

3. Сложение порядков сомножителей как целых чисел.

4. Нормализация результата.

Операция деления чисел с плавающей запятой выполняется в соответствии с формулой Z=Х/У= М_Х•2^Рх/(М_У•2^Ру) = (М_Х/М_У) •2^(Рх-Ру).

Мантисса частного определяется делением мантиссы Х на мантиссу Y как чисел с фиксированной запятой.

Порядок частного является разностью порядков делимого и делителя. Операция деления выполняется в следующей последовательности.

- определение знака мантиссы частного путем суммирования знаковых разрядов мантисс делимого и делителя по модулю 2

- деление мантисс как чисел с фиксированной запятой

- вычитание порядков как целых чисел

- нормализация результата