Моделирование детерминированного хаоса на примере аттрактора Лоренца
Броуновское движение частиц и колебания в системе Дуффинга являются проявлениями хаоса в природе. Наблюдая, например, за колебаниями температуры, можно убедиться в том, что наряду с вполне предсказуемыми изменениями температуры (например, повышением летом и понижением зимой) нередко наблюдаются хаотические изменения, которые трудно или невозможно заранее предвидеть.
Иногда «развал», казалось бы, устойчивой системы приводит к резким изменениям ее поведения – резкий скачок курса валюты тому наглядный пример. Хаотическое поведение систем более характерно для природы, чем стационарное, происходящее с неизменяемыми во времени параметрами. Чем сложнее система и чем большим количеством дифференциальных уравнений она описывается, тем больше вероятность возникновения в системе хаотических режимов – даже если она автономна.
В теории показано, что уже в системах из трех дифференциальных уравнений возможно возникновение хаотических режимов. Наглядным примером этого является аттрактор Лоренца. Аттрактором в теории колебаний называется притягивающая область в фазовом пространстве. Причины неустойчивости аттракторов связаны с экспоненциальной неустойчивостью системы в малых областях фазового пространства. При этом наблюдаются хаотические переходы из одной области фазового пространства в другие области, но при этом колебания могут не выходить из некоторой более обширной области фазового пространства. «Обвал» системы означает переход в некоторое состояние, резко отличающееся от других состояний, т.е. выход за пределы ограниченного фазового состояния системы. Такое состояние может оказаться устойчивым и приводит к переходу системы в статическое состояние, при котором изменения ее параметров отсутствуют.
Аттрактор Лоренца основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях:
Задание:
задать константы системы дифференциальных уравнений.
задать начальные значения.
задать систему уравнений Лоренца:
найти решение системы дифференциальных уравнений с помощью функции
построить графики фазового пространства системы Лоренца.
Моделирование аттрактора Лоренца
Вывод:
При определенных значениях параметров
и
и начальных параметрах переменных
поведение аттрактора (он в этом случае
называется странным аттрактором) очень
напоминает хаотические колебания в
системе Дафинга.
Аттрактор представляет поведение системы в любое заданное время, и ее состояние в определенный момент зависит от ее состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.
Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т.к. он выражает общее поведение системы.