18. Похідні вищих порядків

Производная у'=ƒ'(х) ункции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у" Итак, у"=(у')'.Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:y(n)=(y(n-1))¢ .Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка).

Пример 23.1Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.Решение:

19. Похідні фінкцій заданих параметрично

Если  функция  f  задана   параметрически x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β,где y = f(x) и  функции  φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то

 Производная  неявно  заданной   функции.если y = f(x) - дифференцируемая  функция ,  заданная  уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее  производную  можно найти из уравнения

Пусть  функция   задана   параметрическими  уравнениями  ,

тогда  , или 

Пример:

20. Диференціали вищих порядків

Розглянемо на деякому проміжку функцію , яка на цьому проміжку має похідні до - го  порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку існує  диференціал .У подальшому  диференціал  називатимемо  диференціалом  першого  порядку , або першим диференціалом  від функції . Диференціал  першого  порядку  є функція від і отже, якщо функція є, в свою чергу диференційованою на проміжку , то вона (або, те саме, ) має  диференціал . Цей  диференціал  називають диференціалом  другого  порядку , або другим  диференціалом  від функції , і позначають .

Отже, за означенням . Підставимо в цю рівність . Оскільки є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для  диференціала  другого  порядку .Аналогічно визначаються  диференціали  третього, четвертого і т. д.  порядків . Зокрема, якщо для функції уже означений  диференціал  - го  порядку  - й  диференціал  то  диференціалом  - го порядку , або - м  диференціалом  від функції називається  диференціал  першого  порядку  від диференціала  - го  порядку .  Диференціал  - го  порядку  визначається символом .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной    второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции   :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что   есть произвольное и не зависящее от   , которое при дифференцировании по    следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция    имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:  .