Тема 4. Розрахунок трьохшарнірних систем

4.1. Види трьохшарнірних систем

Трьохшарнірна система складається з двох дисків (/ і //), з’єднаних за допомогою одного шарніра один з одним (шарнір С на рис. 4.1) і двома шарнірами із землею (шарніри А і В). Земля може розглядатися як третій диск і тому трьохшарнірна система є з'єднанням трьох дисків за допомогою трьох шарнірів, не розташованих на одній прямій. Таке з'єднання, як відомо, є геометрично незмінним .

Рис 4.1

Якщо диски / і // (рис. 4.2) є стержнями з криволінійною віссю (а), то трьохшарнірна система називається трьохшарнірною аркою; якщо дисками / і // є прямолінійні (б) або ламані (в) стержні, то система називається трьохшарнірною рамою; у випадку, коли диски / і // виявилися наскрізними конструкціями (фермами), система називається трьохшарнірною арочною фермою(г).Відстань І між центрами опорних шарнірів трьохшарнірної арки називається прольотом, а відстань f від середнього шарніра до прямої, що з’єднує опорні шарніри, — стрілою підйому арки

Трьохшарнірна система може бути симетричною і несиметричною щодо вертикальної осі. В симетричній системі середній шарнір С розміщений на осі симетрії, а опорні шарніри А і В — на одному рівні.

Опори А і В в несиметричній системі можуть бути розміщені на різних рівнях (рис. 4.3).

Рис 4.2

Рис 4.3

У трьохшарнірних арках і рамах одна з шарнірно нерухомих опор може бути замінена шарнірно рухомою з вертикальним опорним стержнем. У цьому випадку для забезпечення геометричної незмінності вводиться затяжка, яка і сприймає розпір.

4.2. Визначення опорних реакцій трьохшарнірної арки

Реакції R_a і R_b опор трьохшарнірної системи характеризуються кожна двома параметрами — величиною і напрямом (або, наприклад, величинами горизонтальної і вертикальної складових Н і V); отже, опорні реакції трьохшарнірної системи характеризуються чотирма параметрами, наприклад, величинами сил H_A, H_B, V_A, V_B . Вони можуть бути визначені з трьох рівнянь рівноваги всіх сил, діючих на систему (включаючи і опорні реакції), і четвертого рівняння,

Рис 4.4

що виражає рівність нулю моменту всіх сил, діючих на ліву або праву частину системи, відносно шарніра С. Отже, трьохшарнірна система є статично визначною.

Вертикальні складові опорних реакцій V_А і V_В визначають з рівнянь моментів відносно опор :

де a_i — плече сили P_i відносно точки А.

Правильність визначення V_А і V_B перевіряють, склавши рівняння ΣY=0. З рівняння ΣХ=0 стає відомим, що Н_А=Нв=H. Значення розпору аналітично визначають з рівняння ΣM_c^лів =0, або ΣM_c^прав =0:

оскільки

то

При дії на трьохшарнірну систему вертикального навантаження горизонтальні складові Н_А і Н_В реакцій опор А і В, так звані розпором, не рівні нулю; у зв'язку з цим трьохшарнірні системи відносять до розпірних.

4.3. Визначення внутрішніх зусиль

Внутрішніми зусиллями, що виникають в поперечних перерізах арки, є згинаючі моменти М, поперечні сили Q і подовжні сили N. Їх визначають при навантаженнях, які діють на арку ліворуч або праворуч даного перерізу.При визначенні внутрішніх зусиль і побудові епюр цих зусиль використовують правила знаків (за винятком знака поздовжньої сили, яка в арках вважається додатньою при стиску) приведені для балок.При розрахунку арок у виразах доцільно позначити вісь, співпадаючу з дотичної до осі арки в даному перерізі u (замість х в балок), перпендикулярну до неї v (замість y), а проекції сил на ці осі відповідно U і V.

З урахуванням висловленого виразу для арок рівняння рівноваги приймають вигляд:

В цих виразах, що входять під знаки сум моменти зовнішніх сил додатні при обертанні за годинниковою стрілкою, проекції V — коли направлені знизу вгору, а проекції U — коли направлені зліва направо.

Визначимо за допомогою виразів внутрішні зусилля в поперечному перерізі k арки, показаної на рис. 4.5, де х і y — координати точки k осі арки;  — кут між дотичної до осі арки в точці k і горизонталлю; Р_у та Р_x — відповідно вертикальна і горизонтальна проекції сили Р; х_р і у_p — координати точки прикладення сили Р.

Рис 4.5

В отримані вирази Q, М і N під знаки сум входять проекції Р_у і Р_x всіх сил Р, прикладених до арки зліва перерізу k. Для перерізу k , показаного на рис. 4.5, під знак кожної

Рис.4.6

суми входить лише одна проекція Р_y, або P_x. Аналогічним шляхом зусилля Q, М і N можуть бути виражені і як проекція правих сил.

При дії на арку тільки вертикального навантаження (рис.4.6,а) горизонтальні проекції Р_x; рівні нулю, проекції Р_y рівні Р, а розпір Н_A = H_B= Н; тому вирази приймають спрощений вигляд:

N_X= .

У трьохшарнірній арці із затяжкою V_a=V⁰_a, V_b=V⁰_b; зусилля в затяжці визначають з рівняння

ΣM_c^лів=0

Згинаючий момент М, поперечна Q і подовжня N сили в будь-якому перерізі трьохшарнірної арки із затяжкою будуть рівні:

а) для ділянок нижче затяжки

б) для ділянок вище затяжки

Як видно з наведених вище формул в арці, порівняно з балкою істотно зменшується згинальний момент і поперечна сила, що є результатом впливу розпору. Наявність в арках розпору викликає необхідність встановлення масивних опор або затяжок, здатних сприймати великі горизонті зусилля.

Раціональним контуром осі арки називається такий, при якому крива тиску від заданого нерухомого навантаження співпадає з віссю арки; отже, при цьому навантаженні у всіх перерізах арки згинаючий момент рівний нулю. Якщо ординати y і η осі арки і кривої тиску визначаються відповідно рівняннями

y=f(x) та =(x),

то умовою того, що вісь арки має раціональний контур, є тотожність: y=

При дії на арку тільки вертикального навантаження

Рис 4.7

чисельник останньої формули рівний згинаючому моменту в простій балці в перетині з абсцисою х, тобто , а тому

Використовуючи співвідношення y=, одержуємо наступне рівняння раціональної осі арки:

Отже, при вертикальному навантаженні вісь арки буде раціональною, якщо її контур міняється за законом зміни балочного моменту.