1.7. Инварианты тензора напряжений
Инвариантами называют величины, которые не меняются при повороте осей координат.
Вернемся
к кубическому уравнению, из которого
определим главные напряжения:
.
Чтобы
иметь одни и те же главные напряжения
необходимо чтобы
,
,
не менялись при повороте осей координат,
то есть
,
,
-
инварианты, которые будут равны, если
их записать в системе координат x,
y,
z
и 1,
2,
3.
Тогда можно записать [4]:
;
;
- линейный инвариант; - квадратный; - кубический. Они дают полную характеристику напряженного состояния материальной частицы.
1.8. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор
Тензор напряжений можно представлять в виде суммы двух тензоров:
,
где
- среднее нормальное напряжение:
.
(1.19)
Напряжение - инвариантная величина, характеризующая уровень нормального напряжения в точке деформированного тела.
Таким образом, тензор в виде суммы тензоров можно записать следующим образом:
.
(1.20)
.
(1.21)
Величина
,
определяемая равенствами:
называется симметричным символом Кронекера. Она образует квадратичную единичную матрицу:
.
Тензор
называется шаровым:
.
Тензор
называется девиатором
напряжений:
.
Компоненты
обозначают
.
Тогда (1.20) можно переписать:
.
Таким образом, напряженное состояние точки представили как два наложенных напряженных состояния. При этом характеризует уровень нормальных напряжений. Под его действием происходит изменение объема, то есть гидростатическое давление ответственно за изменение объема.
характеризует касательные напряжения. Он ответственен за изменение формы.
Инварианты шарового тензора:
Инварианты девиатора [4]:
Наибольшее
практическое значение имеет второй
инвариант
.
-
интенсивность
касательных напряжений.
Это неотрицательная скалярная характеристика напряженного состояния в точке. Используется для определения условий перехода материала в данной точке в пластическое состояние.
Если
в выражение для
подставлять вместо
величину
и произвести преобразования то получим
команду:
.
Величина Т в главных напряжениях:
.
Можно показать, что с помощью тензорных символов Т запишется:
.
1.9. Возможные схемы напряженного состояния металла
Возможны 3 схемы напряженного состояния металла: линейная, плоска и объемная (рис. 1.7), они отличаются характером нагружения металла [5].
а
)
Линейная схема
б
)
Плоская схема
в) Объемная схема
Рис. 1.7. Схемы напряженного состояния металла (главные напряжения
действуют на грани элементарных ячеек)
На
рис. 1.8 показаны схемы напряженного (
)
и деформированного (
)
состояний металла для разных схем
нагружения, которые встречаются в опытах
по определению механических свойств
металлов и в реальных промышленных
процессах деформации.
Рис. 1.8. Схемы напряженного ( ) и деформированного
( ) состояний:
Л.С.,
П.С., О.С.- соответственно линейная,
плоская и объемная схемы; х,y,z
- прямоугольная система координат;
- цилиндрическая система координат; 1,
2, 3
- система координат, связанная
с главными осями тензоров напряжений
и деформаций; а
- осадка без контактного трения (идеальный
случай); б
-
равномерное растяжение (без образования
шейки); в
- осадка (F
- сила трения)
Рис. 1.7 (окончание). Схемы напряженного ( ) и
деформированного ( ) состояний:
г
- чистый сдвиг (
-предел
текучести на сдвиг); д
- плоское напряженное состояние
(пластина находится под действием
сил, приложенных к ее контуру параллельно
плоскости пластины
и распределенных равномерно по ее
толщине); е
– выдавливание; ж
– волочение