IV. Задачи на проценты
1. На двух предприятиях число рабочих увеличилось: на одном - на 28%, а на другом стало 1800 рабочих вместо 1500. В среднем число рабочих увеличилось на 25%. Сколько рабочих было на первом предприятии до увеличения?
Решение.
Примем за 100% первоначальное количество рабочих на первом предприятии. Тогда, после увеличения, количество рабочих составит 128%.
Обозначив первоначальное количество рабочих на первом предприятии за х, получим, что после увеличения их количество составит 1,28х рабочих. Значит, на обоих предприятиях стало 1,28х+1800 человек.
С другой стороны, если за 100% принять первоначальное количество рабочих на обоих предприятиях, то после увеличения на обоих предприятиях число рабочих составляет 125%.
В этом случае (при условии, что первоначальное количество рабочих на первом предприятии обозначено за х), получим, что после увеличения число рабочих на обоих предприятиях стало 1,25(х+1500) человек.
Таким образом, можно составить уравнение:
.
Решив данное уравнение, получим, х=2500.
Ответ: На первом предприятии до увеличения было 2500 человек.
2. По срочным денежным вкладам сберкасса выплачивает 30% годовых. В сберкассу был сделан срочный денежный вклад на сумму 400 руб. сроком на год, а по истечении срока этот вклад вместе с процентами был оставлен еще на год. На сколько процентов от первоначального вклада увеличится сумма через два года?
Решение.
Примем за 100% первоначальный вклад, т.е. 400 руб. Тогда по окончании первого года вся сумма составит 100+30=130%.
Отсюда,
по окончании первого года вся сумма
составит
рублей.
Теперь
примем за 100% сумму, оставленную на второй
год, т.е. 520 руб. Тогда по окончании второго
года вся сумма также составит 130% или
рублей.
Снова
примем за 100% первоначальный вклад, т.е.
400 руб. Узнаем, сколько процентов от
первоначального вклада составляет
итоговая сумма. Для этого составим
пропорцию:
.
Отсюда х=169.
Таким образом, прирост по вкладу за два
года составила 169-100=69%.
Ответ: Через два года первоначальный вклад увеличится на 69%.
3. Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
Решение.
Примем
за 100% массу первоначального куска
сплава, т.е. 36 кг, тогда он содержит
100-45=55% цинка. Отсюда масса цинка,
содержащегося в первоначальном сплаве:
кг.
Теперь примем за 100% массу нового сплава, тогда он содержит 100-60=40% цинка. Но масса цинка в обоих сплавах одинакова - 19,8 кг.
Обозначив массу нового сплава за х, можно составить пропорцию:
,
отсюда х=49,5.
Таким образом, чтобы получить новый сплав, необходимо добавить: 49,5-36=13,5 кг меди.
Ответ: Чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди, к данному куску нужно добавить 13, кг меди.
Вариант 1
I. Задачи на движение.
С двух аэродромов одновременно вылетели навстречу друг другу два самолета и встретились через 3 часа. Скорость первого самолета - 600 км в час, а второго - 900 км в час. Найти расстояние между аэродромами.
С аэродрома вылетел вертолет со скоростью 210 км в час. Через 2 часа с этого же аэродрома вылетел самолет, который через 3 часа после своего вылета перегнал вертолет на 840 км. Найдите скорость самолета.
Из турбазы вышли два человека одновременно и пошли в противоположных направлениях. Один шел со скоростью 5 км в час, а другой - со скоростью 4 км в час. На каком расстоянии друг от друга будут эти люди через 5 часов после выхода?
Катер по течению реки проходит за 5 часов столько же километров, сколько за 6 ч 15 мин против течения. Скорость течения - 2,4 км в час. Какова собственная скорость катера?