2. Контрольные вопросы
1. В чем существенное отличие модели ВР от регрессионной модели?
2. Принцип выбора модели ВР.
3. Суть процедуры сглаживания ВР.
4. Суть коэффициента корреляции между уровнями ВР.
5. Причины автокорреляции остатков ВР.
6. Способы выявления автокорреляции остатков.
7. Отличие стационарных и динамических ВР.
8. Принципы выбора моделей тренда.
3. Примеры построения моделей временных рядов
Пример 1
Пусть
известны объемы потребления продукта
А (
)
за 15 недель осенне-зимнего периода по
району Ц города Х.
Таблица 1
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
3,38 |
3,53 |
3,7 |
3,8 |
3,78 |
3,84 |
3,76 |
3,9 |
4,15 |
4,28 |
4,4 |
4,54 |
4,78 |
4,84 |
4,88 |
Задание: используя значения, полученные в табл. 2, выявить структуру ряда, выбрать модель и оценить ее.
Таблица 2
t |
Yt |
Yt |
Yt+1 |
YtYt+1 |
|
|
t² |
1 |
3,380 |
3,380 |
3,530 |
11,931 |
11,424 |
12,461 |
1 |
2 |
3,530 |
3,530 |
3,700 |
13,061 |
12,461 |
13,690 |
4 |
3 |
3,700 |
3,700 |
3,800 |
14,060 |
13,690 |
14,440 |
9 |
4 |
3,800 |
3,800 |
3,780 |
14,364 |
14,440 |
14,288 |
16 |
5 |
3,780 |
3,780 |
3,840 |
14,515 |
14,288 |
14,746 |
25 |
6 |
3,840 |
3,840 |
3,760 |
14,438 |
14,746 |
14,138 |
36 |
7 |
3,760 |
3,760 |
3,900 |
14,664 |
14,138 |
15,210 |
49 |
8 |
3,900 |
3,900 |
4,150 |
16,185 |
15,210 |
17,223 |
64 |
9 |
4,150 |
4,150 |
4,280 |
17,762 |
17,223 |
18,318 |
81 |
10 |
4,280 |
4,280 |
4,400 |
18,832 |
18,318 |
19,360 |
100 |
11 |
4,400 |
4,400 |
4,540 |
19,976 |
19,360 |
20,612 |
121 |
12 |
4,540 |
4,540 |
4,780 |
21,701 |
20,612 |
22,848 |
144 |
13 |
4,780 |
4,780 |
4,840 |
23,135 |
22,848 |
23,426 |
169 |
14 |
4,840 |
4,840 |
4,880 |
23,619 |
23,426 |
23,814 |
196 |
15 |
4,880 |
— |
— |
— |
— |
— |
225 |
|
61,560 |
56,680 |
58,180 |
238,245 |
232,183 |
244,573 |
1240 |
å/n |
4,104 |
|
|
|
|
|
82,667 |
Продолжение табл.2
t |
Yt |
Yt+2 |
YtYt+2 |
|
|
tYt |
|
1 |
3,380 |
3,700 |
12,506 |
11,424 |
13,690 |
3,380 |
11,424 |
2 |
3,530 |
3,800 |
13,414 |
12,461 |
14,440 |
7,060 |
12,461 |
3 |
3,700 |
3,780 |
13,986 |
13,690 |
14,288 |
11,100 |
13,690 |
4 |
3,800 |
3,840 |
14,592 |
14,440 |
14,746 |
15,200 |
14,440 |
5 |
3,780 |
3,760 |
14,213 |
14,288 |
14,138 |
18,900 |
14,288 |
6 |
3,840 |
3,900 |
14,976 |
14,746 |
15,210 |
23,040 |
14,746 |
7 |
3,760 |
4,150 |
15,604 |
14,138 |
17,223 |
26,320 |
14,138 |
8 |
3,900 |
4,280 |
16,692 |
15,210 |
18,318 |
31,200 |
15,210 |
9 |
4,150 |
4,400 |
18,260 |
17,223 |
19,360 |
37,350 |
17,223 |
10 |
4,280 |
4,540 |
19,431 |
18,318 |
20,612 |
42,800 |
18,318 |
11 |
4,400 |
4,780 |
21,032 |
19,360 |
22,848 |
48,400 |
19,360 |
12 |
4,540 |
4,840 |
21,974 |
20,612 |
23,426 |
54,480 |
20,612 |
13 |
4,780 |
4,880 |
23,326 |
22,848 |
23,814 |
62,140 |
22,848 |
14 |
— |
— |
— |
— |
— |
67,760 |
23,426 |
15 |
— |
— |
— |
— |
— |
73,200 |
23,814 |
å |
51,840 |
54,650 |
220,006 |
208,758 |
232,113 |
522,330 |
255,998 |
å/n |
|
|
|
|
|
34,822 |
17,067 |
Продолжение табл.2
t |
Yt |
Yt+3 |
YtYt+3 |
|
|
t |
Ŷ |
|
1 |
3,380 |
3,800 |
12,844 |
11,424 |
14,440 |
1 |
3,355 |
0,025 |
2 |
3,530 |
3,780 |
13,343 |
12,461 |
14,288 |
2 |
3,462 |
0,068 |
3 |
3,700 |
3,840 |
14,208 |
13,690 |
14,746 |
3 |
3,569 |
0,131 |
4 |
3,800 |
3,760 |
14,288 |
14,440 |
14,138 |
4 |
3,676 |
0,124 |
5 |
3,780 |
3,900 |
14,742 |
14,288 |
15,210 |
5 |
3,783 |
-0,003 |
6 |
3,840 |
4,150 |
15,936 |
14,746 |
17,223 |
6 |
3,890 |
-0,050 |
7 |
3,760 |
4,280 |
16,093 |
14,138 |
18,318 |
7 |
3,997 |
-0,237 |
8 |
3,900 |
4,400 |
17,160 |
15,210 |
19,360 |
8 |
4,104 |
-0,204 |
9 |
4,150 |
4,540 |
18,841 |
17,223 |
20,612 |
9 |
4,211 |
-0,061 |
10 |
4,280 |
4,780 |
20,458 |
18,318 |
22,848 |
10 |
4,318 |
-0,038 |
11 |
4,400 |
4,840 |
21,296 |
19,360 |
23,426 |
11 |
4,425 |
-0,025 |
12 |
4,540 |
4,880 |
22,155 |
20,612 |
23,814 |
12 |
4,532 |
0,008 |
13 |
— |
— |
— |
— |
— |
13 |
4,639 |
0,141 |
14 |
— |
— |
— |
— |
— |
14 |
4,746 |
0,094 |
15 |
— |
— |
— |
— |
— |
15 |
4,853 |
0,027 |
å |
47,060 |
50,950 |
201,365 |
185,909 |
218,423 |
120,000 |
|
0,000 |
å/n |
|
|
|
|
|
8,000 |
|
0,000 |
Окончание табл.2
-
t
( - )2
1
−
−
−
0,001
2
0,068
0,025
0,002
0,005
3
0,131
0,068
0,004
0,017
4
0,124
0,131
0,000
0,015
5
-0,003
0,124
0,016
0,000
6
-0,050
-0,003
0,002
0,003
7
-0,237
-0,050
0,035
0,056
8
-0,204
-0,237
0,001
0,042
9
-0,061
-0,204
0,020
0,004
10
-0,038
-0,061
0,001
0,001
11
-0,025
-0,038
0,000
0,001
12
0,008
-0,025
0,001
0,000
13
0,141
0,008
0,018
0,020
14
0,094
0,141
0,002
0,009
15
0,027
0,094
0,004
0,001
å
0,107
0,173
Решение.
Рассчитаем коэффициенты автокорреляции первого, второго, третьего порядков, используя формулу (3).
Значения для расчетов берем из табл. 2.
r(
= 1) =
;
r(
= 1) =
= 0,981;
r(
= 2) =
;
r(
= 2) =
= 0,899;
r(
= 3) =
;
r(
= 3) =
= 0,923.
Анализ коэффициентов позволяет выдвинуть гипотезу о наличии во ВР сильной линейной тенденции.
Структура тренда линейная и
Тt = a + bt + ,
где
b
=
=
= 0,107,
а =
-b
=
4,104-0,107
= 3,248,
Tt = 3,248 + 0,107t + или
Yt = 3,248 + 0,107t + или
Ŷt = 3,248 + 0,107t.
Оценим модель тренда
=
=
= 0,974.
Fрасч.=
=
13
= 241,9
Fкрит.(α
= 0,05;
1
=
1;
2
=
13) = 4,67 (см. прил. 2)
Fрасч. > Fкрит.
d
=
=
= 0,618.
dH(n = 15, p = 1) = 1,08; dB(n = 15, p = 1) = 1,36 (см. прил. 1).
Полученные оценки позволяют сделать вывод, что ВР об объемах потребления продукта А содержит линейную тенденцию, но так как
0 < d < dH,
то согласно теста Дарбина-Уотсона делаем вывод о наличии автокорреляции остатков ряда ( ).
Следовательно, полученную модель нельзя считать адекватной, причина может быть в скрытых регрессорах.
Пример 2
Пусть имеются данные об денежных объемах продаж (Yt) автомобилей марки W за 22 временных периода.
Таблица 3
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Yt |
9,71 |
11,66 |
10,44 |
9,07 |
9,57 |
7,27 |
7,52 |
10,19 |
9,72 |
8,15 |
8,23 |
Окончание табл. 3
t |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
Yt |
11,12 |
13,86 |
14,28 |
13,64 |
12,41 |
11,45 |
13,51 |
13,25 |
12,26 |
11,89 |
12,13 |
Задание: используя значения, полученные в табл. 4, обосновать выбор структуры ВР, дать прогноз объемов продаж автомобилей на следующий временной период.
Таблица 4
t |
Yt |
Yt-1 |
YtYt-1 |
|
|
YtYt-1 |
t² |
Yt |
1 |
9,7100 |
|
|
|
|
− |
− |
− |
2 |
11,6600 |
9,7100 |
113,2186 |
94,2841 |
135,9556 |
113,2186 |
4 |
11,6600 |
3 |
10,4400 |
11,6600 |
121,7304 |
135,9556 |
108,9936 |
121,7304 |
9 |
10,4400 |
4 |
9,0700 |
10,4400 |
94,6908 |
108,9936 |
82,2649 |
94,6908 |
16 |
9,0700 |
5 |
9,5700 |
9,0700 |
86,7999 |
82,2649 |
91,5849 |
86,7999 |
25 |
9,5700 |
6 |
7,2700 |
9,5700 |
69,5739 |
91,5849 |
52,8529 |
69,5739 |
36 |
7,2700 |
7 |
7,5200 |
7,2700 |
54,6704 |
52,8529 |
56,5504 |
54,6704 |
49 |
7,5200 |
8 |
10,1900 |
7,5200 |
76,6288 |
56,5504 |
103,8361 |
76,6288 |
64 |
10,1900 |
9 |
9,7200 |
10,1900 |
99,0468 |
103,8361 |
94,4784 |
99,0468 |
81 |
9,7200 |
10 |
8,1500 |
9,7200 |
79,2180 |
94,4784 |
66,4225 |
79,2180 |
100 |
8,1500 |
11 |
8,2300 |
8,1500 |
67,0745 |
66,4225 |
67,7329 |
67,0745 |
121 |
8,2300 |
12 |
11,1200 |
8,2300 |
91,5176 |
67,7329 |
123,6544 |
91,5176 |
144 |
11,1200 |
13 |
13,8600 |
11,1200 |
154,1232 |
123,6544 |
192,0996 |
154,1232 |
169 |
13,8600 |
14 |
14,2800 |
13,8600 |
197,9208 |
192,0996 |
203,9184 |
197,9208 |
196 |
14,2800 |
Продолжение табл. 4
t |
Yt |
Yt-1 |
YtYt-1 |
|
|
YtYt-1 |
t² |
Yt |
15 |
13,6400 |
14,2800 |
194,7792 |
203,9184 |
186,0496 |
194,7792 |
225 |
13,6400 |
16 |
12,4100 |
13,6400 |
169,2724 |
186,0496 |
154,0081 |
169,2724 |
256 |
12,4100 |
17 |
11,4500 |
12,4100 |
142,0945 |
154,0081 |
131,1025 |
142,0945 |
289 |
11,4500 |
18 |
13,5100 |
11,4500 |
154,6895 |
131,1025 |
182,5201 |
154,6895 |
324 |
13,5100 |
19 |
13,2500 |
13,5100 |
179,0075 |
182,5201 |
175,5625 |
179,0075 |
361 |
13,2500 |
20 |
12,2600 |
13,2500 |
162,4450 |
175,5625 |
150,3076 |
162,4450 |
400 |
12,2600 |
21 |
11,8900 |
12,2600 |
145,7714 |
150,3076 |
141,3721 |
145,7714 |
441 |
11,8900 |
22 |
12,1300 |
11,8900 |
144,2257 |
141,3721 |
147,1369 |
144,2257 |
484 |
12,1300 |
å |
231,6200 |
229,2000 |
2598,4989 |
2595,5512 |
2648,4040 |
2598,4989 |
3794 |
231,6200 |
å/n |
10,5282 |
10,9143 |
123,7380 |
123,5977 |
126,1145 |
123,7380 |
172,4545 |
11,0295 |
Окончание табл.4
|
t |
Ŷ |
Y-Ŷ |
|
|
|
( - )2 |
|
1 |
− |
− |
− |
− |
− |
− |
|
2 |
10,1262 |
1,5338 |
2,3526 |
− |
− |
− |
|
3 |
11,5895 |
-1,1495 |
1,3213 |
1,5338 |
-1,1495 |
7,2000 |
|
4 |
10,6740 |
-1,6040 |
2,5727 |
-1,1495 |
-1,6040 |
0,2066 |
|
5 |
9,6459 |
-0,0759 |
0,0058 |
-1,6040 |
-0,0759 |
2,3349 |
|
6 |
10,0211 |
-2,7511 |
7,5687 |
-0,0759 |
-2,7511 |
7,1567 |
|
7 |
8,2952 |
-0,7752 |
0,6009 |
-2,7511 |
-0,7752 |
3,9043 |
|
8 |
8,4828 |
1,7072 |
2,9145 |
-0,7752 |
1,7072 |
6,1623 |
|
9 |
10,4864 |
-0,7664 |
0,5873 |
1,7072 |
-0,7664 |
6,1185 |
|
10 |
10,1337 |
-1,9837 |
3,9350 |
-0,7664 |
-1,9837 |
1,4818 |
|
11 |
8,9556 |
-0,7256 |
0,5264 |
-1,9837 |
-0,7256 |
1,5829 |
|
12 |
9,0156 |
2,1044 |
4,4285 |
-0,7256 |
2,1044 |
8,0087 |
|
13 |
11,1842 |
2,6758 |
7,1596 |
2,1044 |
2,6758 |
0,3264 |
|
14 |
13,2403 |
1,0397 |
1,0809 |
2,6758 |
1,0397 |
2,6768 |
|
15 |
13,5555 |
0,0845 |
0,0071 |
1,0397 |
0,0845 |
0,9123 |
|
16 |
13,0753 |
-0,6653 |
0,4426 |
0,0845 |
-0,6653 |
0,5621 |
|
17 |
12,1523 |
-0,7023 |
0,4932 |
-0,6653 |
-0,7023 |
0,0014 |
|
18 |
11,4319 |
2,0781 |
4,3186 |
-0,7023 |
2,0781 |
7,7305 |
|
19 |
12,9777 |
0,2723 |
0,0741 |
2,0781 |
0,2723 |
3,2610 |
|
20 |
12,7826 |
-0,5226 |
0,2731 |
0,2723 |
-0,5226 |
0,6319 |
|
21 |
12,0397 |
-0,1497 |
0,0224 |
-0,5226 |
-0,1497 |
0,1391 |
|
22 |
11,7621 |
0,3679 |
0,1354 |
-0,1497 |
0,3679 |
0,2680 |
å |
253 |
|
-0,0075 |
40,8209 |
|
|
60,6662 |
å/n |
11,5000 |
|
-0,0004 |
|
|
|
|
Решение:
Анализ коэффициентов автокорреляции и попытка построения линейного и различных нелинейных трендов не дали положительного результата.
Попытаемся выбрать в качестве модели модель авторегрессии первого порядка AR(1).
Ŷt = a+bYt-1 или Yt = a+bYt-1+εt, где
b
=
,
a
=
- b
,
по значениям, рассчитанным в табл. 4, получим а = 2,8398, b = 0,7504
Ŷ = 2,8398 + 0,7504Yt-1.
Оценим модель:
=
= 0,7514.
Коэффициент = 0,751 достаточно высок,
Fрасч.=
=
×19
= 27,227,
Fкрит.(α = 0,05; 1 = 1; 2 = 19) = 4,38 (см. прил. 2).
Fрасч.>Fкрит., уравнение статистически значимо в целом. Рассчитываем значение критерия Дарбина-Уотсона d
d
=
= 1,4862, dH
=
1,22, dB
=
1,42 ,
dB < d < 4-dB ,
1,42 < d < 2,58,
следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.
По
результатам расчетов
,
Fрасч.,
d
можно судить об адекватности модели Yt
=
2,8398 + 0,7504Yt-1
+
и, следовательно,
Ŷпрогнозное = Ŷ23 = 2,8398 + 0,7504Y22 = 2,8398 + 0,7504×12,13 = 11,9422
t прогнозное = 11,9422.
Пример 3
Имеются данные о полугодовых объемах потребления (Yt) электроэнергии в районе Ж города Х.
Таблица 5
Год |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
|||||
Полугодие (t) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Yt |
2,1 |
1,7 |
2,9 |
3,1 |
3,2 |
3,6 |
3,5 |
3,6 |
3,4 |
3,7 |
Задание: используя значения, полученные в табл. 6, осуществить прогноз потребления электроэнергии на первое полугодие 2008 г. и на весь 2008 год.
Таблица 6
t |
Yt |
Yt |
Yt+1 |
YtYt+1 |
|
|
t² |
1 |
2,1000 |
2,1000 |
1,7000 |
3,5700 |
4,4100 |
2,8900 |
1,0000 |
2 |
1,7000 |
1,7000 |
2,9000 |
4,9300 |
2,8900 |
8,4100 |
4,0000 |
3 |
2,9000 |
2,9000 |
3,1000 |
8,9900 |
8,4100 |
9,6100 |
9,0000 |
4 |
3,1000 |
3,1000 |
3,2000 |
9,9200 |
9,6100 |
10,2400 |
16,0000 |
5 |
3,2000 |
3,2000 |
3,6000 |
11,5200 |
10,2400 |
12,9600 |
25,0000 |
6 |
3,6000 |
3,6000 |
3,5000 |
12,6000 |
12,9600 |
12,2500 |
36,0000 |
7 |
3,5000 |
3,5000 |
3,6000 |
12,6000 |
12,2500 |
12,9600 |
49,0000 |
8 |
3,6000 |
3,6000 |
3,4000 |
12,2400 |
12,9600 |
11,5600 |
64,0000 |
9 |
3,4000 |
3,4000 |
3,7000 |
12,5800 |
11,5600 |
13,6900 |
81,0000 |
10 |
3,7000 |
— |
— |
— |
— |
— |
100,0000 |
å |
|
27,1000 |
28,7000 |
88,9500 |
85,2900 |
94,5700 |
385,0000 |
å/n |
|
|
|
|
|
|
38,5000 |
Продолжение табл.6
t |
Yt |
Yt |
Yt+2 |
YtYt+2 |
|
|
1 |
2,1000 |
2,1000 |
2,9000 |
6,0900 |
4,4100 |
8,4100 |
2 |
1,7000 |
1,7000 |
3,1000 |
5,2700 |
2,8900 |
9,6100 |
3 |
2,9000 |
2,9000 |
3,2000 |
9,2800 |
8,4100 |
10,2400 |
4 |
3,1000 |
3,1000 |
3,6000 |
11,1600 |
9,6100 |
12,9600 |
5 |
3,2000 |
3,2000 |
3,5000 |
11,2000 |
10,2400 |
12,2500 |
6 |
3,6000 |
3,6000 |
3,6000 |
12,9600 |
12,9600 |
12,9600 |
7 |
3,5000 |
3,5000 |
3,4000 |
11,9000 |
12,2500 |
11,5600 |
8 |
3,6000 |
3,6000 |
3,7000 |
13,3200 |
12,9600 |
13,6900 |
9 |
3,4000 |
— |
— |
— |
— |
— |
10 |
3,7000 |
— |
— |
— |
— |
— |
å |
|
23,7000 |
27,0000 |
81,1800 |
73,7300 |
91,6800 |
å/n |
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 6
t |
Yt |
Yt |
Yt+3 |
YtYt+3 |
|
|
1 |
2,1000 |
2,1000 |
3,1000 |
6,5100 |
4,4100 |
9,6100 |
2 |
1,7000 |
1,7000 |
3,2000 |
5,4400 |
2,8900 |
10,2400 |
3 |
2,9000 |
2,9000 |
3,6000 |
10,4400 |
8,4100 |
12,9600 |
4 |
3,1000 |
3,1000 |
3,5000 |
10,8500 |
9,6100 |
12,2500 |
5 |
3,2000 |
3,2000 |
3,6000 |
11,5200 |
10,2400 |
12,9600 |
6 |
3,6000 |
3,6000 |
3,4000 |
12,2400 |
12,9600 |
11,5600 |
7 |
3,5000 |
3,5000 |
3,7000 |
12,9500 |
12,2500 |
13,6900 |
8 |
3,6000 |
— |
— |
— |
— |
— |
9 |
3,4000 |
— |
— |
— |
— |
— |
10 |
3,7000 |
— |
— |
— |
— |
— |
å |
|
20,1000 |
24,1000 |
69,9500 |
60,7700 |
83,2700 |
å/n |
|
|
|
|
|
|
Таблица 7
П |
1 |
2 |
Год |
||
1 |
− |
− |
2 |
0,8000 |
0,4500 |
3 |
0,1250 |
0,1250 |
4 |
-0,0500 |
0,0750 |
5 |
-0,1250 |
0,1750 |
å |
0,7500 |
0,8250 |
å/n |
0,1875 |
0,2063 |
Кор.коэф.= (0,1875+0,2063)/2 |
|
0,1969 |
Сккор.коэф.= |
-0,0094 |
0,0094 |
олугодие
Таблица 8
|
t |
|
|
Оц. |
St |
Y-St=Tt |
tTt |
|
|
1 |
− |
− |
− |
-0,0094 |
2,1094 |
2,1094 |
4,4496 |
|
2 |
1,9000 |
− |
− |
0,0094 |
1,6906 |
3,3812 |
2,8581 |
|
3 |
2,3000 |
2,1000 |
0,8000 |
-0,0094 |
2,9094 |
8,7282 |
8,4646 |
|
4 |
3,0000 |
2,6500 |
0,4500 |
0,0094 |
3,0906 |
12,3624 |
9,5518 |
|
5 |
3,1500 |
3,0750 |
0,1250 |
-0,0094 |
3,2094 |
16,0470 |
10,3002 |
|
6 |
3,4000 |
3,2750 |
0,1250 |
0,0094 |
3,5906 |
21,5436 |
12,8924 |
|
7 |
3,5500 |
3,4750 |
-0,0500 |
-0,0094 |
3,5094 |
24,5658 |
12,3159 |
|
8 |
3,5500 |
3,5500 |
0,0750 |
0,0094 |
3,5906 |
28,7248 |
12,8924 |
|
9 |
3,5000 |
3,5250 |
-0,1250 |
-0,0094 |
3,4094 |
30,6846 |
11,6240 |
|
10 |
3,5500 |
3,5250 |
0,1750 |
0,0094 |
3,6906 |
36,9060 |
13,6205 |
å |
55 |
|
|
|
|
30,8000 |
185,0530 |
98,9696 |
å/n |
5,5 |
|
|
|
|
3,0800 |
18,5053 |
9,8970 |
Окончание табл.8
t |
|
ε |
|
|
( - )2 |
|
1 |
2,2262 |
0,1168 |
− |
− |
− |
0,0136 |
2 |
2,4159 |
0,7253 |
-0,7253 |
-0,1168 |
0,3703 |
0,5261 |
3 |
2,6056 |
-0,3038 |
0,3038 |
-0,7253 |
1,0590 |
0,0923 |
4 |
2,7953 |
-0,2953 |
0,2953 |
0,3038 |
0,0001 |
0,0872 |
5 |
2,9850 |
-0,2244 |
0,2244 |
0,2953 |
0,0050 |
0,0504 |
6 |
3,1747 |
-0,4159 |
0,4159 |
0,2244 |
0,0367 |
0,1730 |
7 |
3,3644 |
-0,1450 |
0,1450 |
0,4159 |
0,0734 |
0,0210 |
8 |
3,5541 |
-0,0365 |
0,0365 |
0,1450 |
0,0118 |
0,0013 |
9 |
3,7438 |
0,3344 |
-0,3344 |
0,0365 |
0,1376 |
0,1118 |
10 |
3,9335 |
0,2429 |
-0,2429 |
-0,3344 |
0,0084 |
0,0590 |
å |
30,7985 |
-0,0015 |
|
|
1,7022 |
1,1357 |
å/n |
3,0800 |
-0,0002 |
|
|
|
|
Решение:
Графическое изображение уровней ВР позволяет выбрать для построения аддитивную модель (1)
Yt = Tt + St + Et, t = 1,2,…n
Рассчитаем коэффициенты автокорреляции r(1), r(2), r(3), используя значения, рассчитанные в табл. 6 и формулу (3).
r1 = 0,756, r2 = 0,853, r3 = 0,786
Анализ коэффициентов позволяет сделать вывод, что данный ВР содержит сезонную составляющую с периодом (лагом) в один год ( = 2) и линейную тенденцию.
Построение аддитивной модели
1. Проведем выравнивание уровней ВР 2-х точечной скользящей средней, т.е. находим полусумму соседних уровней ВР со сдвигом на один момент времени, например,
=
= 1,9;
=
= 2,3;
=
= 3.
И т. д., тем самым получим выровненные уровни ряда, уже не содержащие сезонной составляющей.
2. Рассчитаем значения центрированных скользящих средних для приведения предыдущих значений с фактическими значениями времени, например,
центр.
=
=
= 2,1;
центр.
=
= 2,65 и т. д. (табл. 6).
3. Найдем оценки сезонной составляющей. Оценка как разность между Уt и центрированными скользящими средними (Оц – табл. 6).
4. Рассчитаем значения сезонной составляющей St, для чего проведем расчеты в табл. 7.
5. Расчет выровненных значений составляющей Tt приведен в табл. 8.
Построим модель тренда
Tt = а+bt+ε
а = 2,0365; b = 0,1897
Tt = 2,0365 + 0,1897t + ε или
=
2,0365 + 0,1897t.
Оценим модель по значениям, рассчитанным в табл. 8
r = 0,851
Fрасч. = 20,920
Fкрит.(α = 0,05, 1 = 1; 2 = 8) = 5,32
Fрасч .> Fкрит.
d = 1,499
dH(n = 10, p = 1) = 0,88; dB(n = 10, p = 1) = 1,32
dB < d < 4-dB.
Гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается. Рассчитаем прогнозное значение на первое полугодие 2008 г.
(t = 11) = 2,0365 + 0,189711 = 4,1232
St(t = 11) = -0,0094
Ŷt прогноз. = 4,1232-0,0094 = 4,1138
4,1138 прогноз на первое полугодие.
(t = 12) = 2,0365 + 0,189712 = 4,3129
St(t = 12) = 0,0094
Ŷt прогноз. = 4,3129 + 0,0094 = 4,3223
Прогноз на 2008 год: 4,1138 + 4,3223 = 8,4361
Пример 4
Известны значения (Yt) курса ценной бумаги В, наблюдаемые в моменты времени t.
Таблица 9
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Yt |
2,7 |
2,6 |
2,9 |
3,1 |
3,2 |
3,6 |
3,5 |
3,4 |
3,0 |
3,4 |
Задание: используя значения, полученные в табл. 10, обосновать выбранную модель, осуществить прогноз, если это возможно.
Таблица 10
t |
Yt |
Yt |
Yt+1 |
YtYt+1 |
|
|
t² |
t |
1 |
2,700 |
2,700 |
2,600 |
7,020 |
7,290 |
6,760 |
1 |
1 |
2 |
2,600 |
2,600 |
2,900 |
7,540 |
6,760 |
8,410 |
4 |
2 |
3 |
2,900 |
2,900 |
3,100 |
8,990 |
8,410 |
9,610 |
9 |
3 |
4 |
3,100 |
3,100 |
3,200 |
9,920 |
9,610 |
10,240 |
16 |
4 |
5 |
3,200 |
3,200 |
3,600 |
11,520 |
10,240 |
12,960 |
25 |
5 |
6 |
3,600 |
3,600 |
3,500 |
12,600 |
12,960 |
12,250 |
36 |
6 |
7 |
3,500 |
3,500 |
3,400 |
11,900 |
12,250 |
11,560 |
49 |
7 |
8 |
3,400 |
3,400 |
3,000 |
10,200 |
11,560 |
9,000 |
64 |
8 |
9 |
3,000 |
3,000 |
3,400 |
10,200 |
9,000 |
11,560 |
81 |
9 |
10 |
3,400 |
−− |
−− |
−− |
−− |
−− |
100 |
10 |
å |
31,400 |
28,000 |
28,700 |
89,890 |
88,080 |
92,350 |
385 |
55 |
å/n |
|
|
|
|
|
|
38,500 |
5,500 |
Продолжение табл. 10
t |
Yt |
Yt |
Yt+2 |
YtYt+2 |
|
|
|
z= |
1 |
2,700 |
2,700 |
2,900 |
7,830 |
7,290 |
8,410 |
7,290 |
1,000 |
2 |
2,600 |
2,600 |
3,100 |
8,060 |
6,760 |
9,610 |
6,760 |
1,414 |
3 |
2,900 |
2,900 |
3,200 |
9,280 |
8,410 |
10,240 |
8,410 |
1,732 |
4 |
3,100 |
3,100 |
3,600 |
11,160 |
9,610 |
12,960 |
9,610 |
2,000 |
5 |
3,200 |
3,200 |
3,500 |
11,200 |
10,240 |
12,250 |
10,240 |
2,236 |
6 |
3,600 |
3,600 |
3,400 |
12,240 |
12,960 |
11,560 |
12,960 |
2,449 |
7 |
3,500 |
3,500 |
3,000 |
10,500 |
12,250 |
9,000 |
12,250 |
2,646 |
8 |
3,400 |
3,400 |
3,400 |
11,560 |
11,560 |
11,560 |
11,560 |
2,828 |
9 |
3,000 |
−− |
−− |
−− |
−− |
−− |
9,000 |
3,000 |
10 |
3,400 |
−− |
−− |
−− |
−− |
−− |
11,560 |
3,162 |
å |
31,400 |
25,000 |
26,100 |
81,830 |
79,080 |
85,590 |
99,640 |
22,467 |
å/n |
3,140 |
|
|
|
|
|
9,964 |
2,247 |
Продолжение табл. 10
t |
Yt |
tYt |
Ŷ |
ε |
εt |
εt-1 |
ε² |
(εt-εt-1)² |
1 |
2,700 |
2,700 |
2,780 |
-0,080 |
− |
− |
0,006 |
− |
2 |
2,600 |
5,200 |
2,860 |
-0,260 |
-0,260 |
-0,080 |
0,068 |
0,032 |
3 |
2,900 |
8,700 |
2,940 |
-0,040 |
-0,040 |
-0,260 |
0,002 |
0,048 |
4 |
3,100 |
12,400 |
3,020 |
0,080 |
0,080 |
-0,040 |
0,006 |
0,014 |
5 |
3,200 |
16,000 |
3,100 |
0,100 |
0,100 |
0,080 |
0,010 |
0,000 |
6 |
3,600 |
21,600 |
3,180 |
0,420 |
0,420 |
0,100 |
0,176 |
0,102 |
7 |
3,500 |
24,500 |
3,260 |
0,240 |
0,240 |
0,420 |
0,058 |
0,032 |
8 |
3,400 |
27,200 |
3,340 |
0,060 |
0,060 |
0,240 |
0,004 |
0,032 |
9 |
3,000 |
27,000 |
3,420 |
-0,420 |
-0,420 |
0,060 |
0,176 |
0,230 |
10 |
3,400 |
34,000 |
3,500 |
-0,100 |
-0,100 |
-0,420 |
0,010 |
0,102 |
å |
|
179,300 |
|
0,000 |
|
|
0,516 |
0,596 |
å/n |
|
17,930 |
|
|
|
|
|
|
Окончание табл.10
t |
zYt |
z² |
Ŷz |
ε |
εt |
|
(εt- )² |
ε² |
1 |
2,700 |
1,000 |
2,683 |
0,017 |
− |
− |
− |
0,000 |
2 |
3,676 |
1,999 |
2,835 |
-0,235 |
-0,235 |
0,017 |
0,063 |
0,055 |
3 |
5,023 |
3,000 |
2,951 |
-0,051 |
-0,051 |
-0,235 |
0,034 |
0,003 |
4 |
6,200 |
4,000 |
3,049 |
0,051 |
0,051 |
-0,051 |
0,010 |
0,003 |
5 |
7,155 |
5,000 |
3,135 |
0,065 |
0,065 |
0,051 |
0,000 |
0,004 |
6 |
8,816 |
5,998 |
3,213 |
0,387 |
0,387 |
0,065 |
0,104 |
0,150 |
7 |
9,261 |
7,001 |
3,285 |
0,215 |
0,215 |
0,387 |
0,030 |
0,046 |
8 |
9,615 |
7,998 |
3,352 |
0,048 |
0,048 |
0,215 |
0,028 |
0,002 |
9 |
9,000 |
9,000 |
3,415 |
-0,415 |
-0,415 |
0,048 |
0,214 |
0,172 |
10 |
10,751 |
9,998 |
3,474 |
-0,074 |
-0,074 |
-0,415 |
0,116 |
0,006 |
å |
72,198 |
504,766 |
|
0,007 |
|
|
0,599 |
0,440 |
å/n |
|
5,048 |
|
|
|
|
|
|
Решение: используя значения, рассчитанные в табл. 10 и формулу (3), рассчитаем r(1) и r(2)
r(1)
=
= 0,671,
r(2)
=
= 0,413,
r(1) = 0,671; r(2) = 0,413.
По результатам расчетов выдвинем гипотезу о наличии линейной тенденции и выбираем в качестве уравнения тренда
Tt = а + bt + .
По значениям, рассчитанным в табл. 10, найдем а и b, и оценим модель тренда.
а = 2,70, b = 0,08
Tt = 2,70 + 0,08t +
r = 0,711
Fрасч. = 8,194
Fкрит.(α = 0,05, 1 = 1; 2 = 8) = 5,32
Fрасч.>Fкрит.
d
=
= 1,027
dH(n = 10, p = 1) = 0,88; dB(n = 10, p = 1) = 1,32
dH < d < dB
Тест Дарбина-Уотсона не дает однозначного ответа о наличии или отсутствии автокорреляции остатков ε.
Рассмотрим в качестве примера нелинейную модель тренда
Tt = а + b + ε
По значениям, рассчитанным в табл. 10, найдем а и b линеаризированной модели
Tt = а + bz + ε,
где z =
а = 2,317, b = 0,3662
Tt = 2,317 + 0,3662z + ε .
Оценим модель.
r = 0,761
Fрасч.= 10,971
Fкрит.(α = 0,05, 1 = 1; 2 = 8) = 5,32
Fрасч.>Fкрит.
d = 1,361
dH(n = 10, p = 1) = 0,88; dB(n = 10, p = 1) = 1,36
dB < d < 4-dB
Модель адекватна, отсутствует автокорреляция остатков, осуществляем прогноз.
Tt(t
=
11) = 2,317 + 0,3662
= 3,532
Ŷпрогнозное = 3,532.