1. Множественная регрессия как обобщение парной регрессии

Обобщением модели парной регрессии является модель множественной регрессии. Наиболее часто в эконометрике используется линейная модель, т.е. уравнение вида:

.

Используются модели и нелинейных регрессий, например:

, и др.

Построение модели связано с выбором вида уравнения и отбором факторов. Факторы, включаемые в модель должны удовлетворять требованиям:

• должны быть количественно измеримы;

• не должны находиться в точной функциональной связи;

• между факторами не должно быть высокой корреляционной связи;

• факторы не должны быть коллинеарны и мультиколлинеарны, то есть факторы не должны дублировать друг друга и более двух факторов не должны быть линейно зависимы.

Замечание. Для оценки мультиколлинеарности факторов можно использовать матрицу М:

,

где – коэффициенты межфакторной корреляции.

1. Если факторы не коррелированы, то определитель матрицы, det M=1.

2. Если между факторами функциональная связь det M=0.

Чем ближе к нулю det M, тем сильнее мультиколлинеарность и ненадежнее результаты множественной регрессии.

Один из путей устранения мультиколлинеарности – исключение из модели одного или нескольких факторов.

1.1. Нахождение параметров линейного уравнения множественной регрессии

Параметры уравнения (1) оцениваются МНК, результаты применения которого приводят к следующей системе уравнений

.

Решив которую, любым способом, например, Крамера, получают коэффициенты a, b_j, j= .

Коэффициенты уравнения множественной регрессии можно определить с помощью стандартизированных коэффициентов регрессии на основании уравнения регрессии в стандартизированном масштабе.

где t_y, t_j (j= ) – стандартизированные переменные, причем

, ,

Система нормальных уравнений для определения коэффициентов уравнения (2) имеет вид:

где r_yxj – парные коэффициенты корреляции, j = .

1.2. Частные уравнения регрессии

На основе уравнения (1) могут быть найдены частные уравнения регрессии.

Частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора, при условии, что остальные закреплены на неизменном уровне.

Система имеет вид:

если подставить

1.3. Множественная корреляция

Значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью индекса множественной корреляции

, обладающего свойствами: 0 1,

 max , j= .

Вывод о целесообразности включения фактора в уравнение множественной регрессии можно сделать после сравнения индексов коэффициентов множественной и парной регрессии.

Для оценки линейного уравнения регрессии можно воспользоваться формулой:

=

Замечания.

Если число коэффициентов (в) при переменных х приближается к n, то коэффициент (индекс) корреляции близок к единице даже при слабой связи признаков.

В этом случае используется скорректированный индекс (коэффициент) корреляции: .

1.4. Частная корреляция

Для оценки частных уравнений регрессии могут быть использованы индексы (коэффициенты) частной корреляции:

,

где – множественный коэффициент детерминации всего набора к факторов с признаком y.

Возможны коэффициенты корреляции первого, второго, третьего, …, (к-1) порядков, например, влияние фактора х₁ можно оценивать при разных условиях независимости действия других факторов:

• – при постоянном действии фактора х₂;

• – при постоянном действии факторов х₂, х_3, х₄, х₅;….. .

• – при постоянном действии всех факторов, включенных в регрессию.

При исследовании зависимостей предпочтение отдается показателям частной корреляции более высоких порядков, они являются дополнением к уравнению множественной регрессии. В эконометрике частные коэффициенты корреляции не имеют самостоятельного значения. Их используют на этапе формирования модели, например, для отсева некоторых факторов.