2.6. Игры с природой

В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствуем информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательный спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательный спрос) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей

.

Имеется ряд критериев принятия решений, которые используются при выборе оптимальной стратегии.

1. Критерия Бейеса-Лапласа.

Пусть игрок А выбирает стратегии А₁, А₂, …, А_m, а природа – состояния В₁, В₂,…,В_n. Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность каждого состояния природы В_j. При этом, если учтены все возможные состояния, .

Если игрок А выбирает чистую стратегию А_i, то математическое ожидание выигрыша составит . Наиболее выгодно будет та стратегия, при которой достигается .

Тогда критерием принятия решений является максимум математического ожидания, т.е.

.

2. Критерия Лапласа.

Данный критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния природы В_j, полагаются равновероятными . Тогда оптимальной является стратегия

,

т.е. стратегия, для которой среднее арифметическое элементов соответствующей строки максимальное.

3. Критерий Вальда. (минимаксный или максиминный)

Данный критерий опирается на принцип наибольшей осторожности и основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий А_i. Выбранные варианты полностью исключают риск, т.е. принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Данный критерий не требует знания вероятностей состояний В_j.

Если в исходной матрице результат представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий:

.

Таким образом, для определения оптимальной стратегии А_i необходимо в каждой строке матрицы найти сначала наибольший элемент, а затем среди них выбрать наименьший.

Если в исходной матрице результат представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий:

.

4. Критерия минимального риска Сэвиджа;

Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

.

Элементы матрицы рисков находятся по формуле , где - максимальный элемент в столбце исходной матрицы.

Оптимальная стратегия определяется выражением .

5. Критерия Гурвица.

Данный критерий основан на следующих двух предположениях: природа может находится в самом невыгодном состоянии с вероятностью и в самом выгодном состоянии с вероятностью , где - коэффициент доверия.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами и , где .

Если в исходной задаче матрица представляет выигрыш, прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается

.

Если матрица представляет затраты (потери), то критерий Гурвица записывается .

Если , получим критерий Вальда, а если , то приходим к решающему правилу вида .

Пример 9. Определить, какой тип R₁, R₂, R₃, R₄ самолета необходимо построить, чтобы удовлетворить потребность авиаперевозчиков. Экономическая эффективность строительства самолетов зависит от влияния случайных факторов, образующих множество состояний природы . Результаты расчета экономической эффективности приведены в таблице. Проанализировать ситуацию и выбрать оптимальную стратегию:

1. на основании критерия Бейеса-Лапласа, определяя А в , где q_j – вероятности j-го состояния «природы»;

2. на основании критерия Лапласа в предположении, что все состояния природы равновероятны;

3. используя максимальный критерий Вальда;

4. на базе критерия минимального риска Сэвиджа;

5. на основании критерия Гурвица с заданным значением =0,6.

Тип самолета	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4
R1	5	2	8	4
R2	2	3	4	12
R3	8	5	3	10
R4	1	4	2	8

Решение. 1) Определим константу А из требования выполнения равенства , откуда А=1/7.

Определим математическое ожидание выигрыша при выборе им стратегии А_i:

;

;

;

.

По критерию Бейеса-Лапласа критерием принятия решений является максимум математического ожидания, т.е.

.

В соответствии с этим критерием наиболее предпочтительными являются стратегии R₁ и R₃.

2) Если предположить, что все состояния природы равновероятны, то , то для принятия решения следует найти математическое ожидание выигрыша:

По критерию Лапласа оптимальной является стратегия

.

Тогда оптимальной является стратегия R₃.

3) Согласно критерию Вальда

.

Следовательно, максимальная стратегия - R₃.

4) Для выбора оптимальной стратегии по критерию Сэвиджа вначале построим матрицу рисков, элементы которой вычисляются по формуле .

Имеем матрицу рисков

.

Тогда согласно критерию Сэвиджа определяем . В соответствии с этим критерием также предпочтительна стратегия R₃.

6. Воспользуемся критерием Гурвица при =0,6. Определим значение

Таким образом, согласно критерию Гурвица оптимальной является стратегия R₂.

Вывод: анализ результатов проведенных на основе различных критериев показывает, что наиболее приемлемой является стратегия R₃.