- •1 Методические указания к самостоятельной работе над курсом
- •Основные формулы и теоремы
- •1.1 Классическое определение вероятности
- •1.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •1.3 Формула полной вероятности. Формула Бейеса
- •1.4 Схема испытаний Бернулли (повторение опытов)
- •1.5 Предельные теоремы
- •Оценим значение
- •1.6 Функция распределения случайной величины. Непрерывная случайная величина
- •1.7 Закон больших чисел. Предельные теоремы
- •1.8 Системы случайных величин
- •2 Расчётные задания Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Задача 2.3
- •Задача 2.4
- •Задача 2.5
- •Задача 2.6
- •Задача 2.7
- •Задача 2.8
- •Задача 2.9
- •Задача 2.10
- •Задача 2.11
- •Список литературы
- •Содержание
- •1.1 Классическое определение вероятности 1
- •1.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей 2
- •2.2 Расчётные задания 23
- •450062, Рб, г.Уфа, ул.Космонавтов, 1.
1 Методические указания к самостоятельной работе над курсом
«Теория вероятностей»
Основные формулы и теоремы
1.1 Классическое определение вероятности
Вероятность события А обозначается символом р или р(А).
П ри классическом определении вероятность события А равна отношению числа случаев m , благоприятствующих ему из общего числа n равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев, к числу n , т.е.
очевидно, что число 0 P (А) 1.
Задача 1.1.1
По телевидению передано 10 снимков, из них три снимка с искажениями. Какова вероятность, что два взятых на удачу снимка: а) не имеют искажений б) оба имеют искажения? в) один имеет искажение?
Решение: Два снимка из десяти можно выбрать n= способами (порядок не важен). Обозначим события: а) Событие А- оба снимка не .имеют искажения т.е. они выбраны из 7 качественных снимков. Это можно сделать способами. Следовательно, .б) Событие В - оба снимка имёю искажения, т.е. они взяты .из трех некачественных . Получим , откуда . в) Событие С - один имеет искажение и один не имеет искажение, т.е. один снимок взят из 3 , а 1 - из 7. По правилу произведения это можно сделать способами, поэтому
Задача 1.1.2
а)Сколько различных трехзначных чисел можно записать при помощи цифр 1; 2? б)Найти вероятность, что записано число 121. (Событие А).
Решение: а) Трехзначные числа - упорядоченные тройки элементов, образованные из цифр 1 и 2, размещения с повторениями из двух элементов по 3. Их число б) Событию А благоприятствует один исход m=1. Поэтому .
1.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей
Непосредственный подсчет вероятности, основанный на построении полной группы событий, практически редко может быть осуществлен. Поэтому основной задачей теории является рассмотрение различных теорем, с помощью которых вероятности одних событий определяются по вероятностям других событий. Важнейшие из них - теоремы сложения и умножения. Условная вероятность события А относительно события В равна:
(1.2.1)
Выражение (1.2.1) получило название теоремы умножения вероятностей.
В случае произведения более чем двух событий теорема умножения вероятностей принимает вид
События независимы в совокупности, если (1.2.2)
Теорема сложения вероятностей: если события попарно несовместимы, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:
(1.2.3)
Е сли несовместные события образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна 1. В частности, для двух, противоположных событий Аи имеет место равенство , и поэтому вероятность противоположного события вычисляется по формуле
Если события совместны, то формулы для вероятности суммы этих событий усложняются. Например, вероятность суммы двух местных событий равна
,
а вероятность суммы трех совместных событий
Задача 1.2.1
Из коробки, содержащей 5 красных и 3 черных шариковых ручки, извлекают 2 ручки. Найти вероятность того, что: а) обе ручки красные. 6) ручки разных цветов. Рассмотреть 2 случая: 1) извлеченная первой ручка не возвращается в коробку; 2) извлеченная первой ручка возвращается в коробку перед извлечением второй.
Решение. Введём обозначения для событий: А - обе ручки красного цвета; В - ручки разных цветов. Следует определить Р(А) и Р(В)
Введём события, связанные с извлечением одной ручки: А1-первая ручка: красная; - первая ручка чёрная, А2 - вторая ручка красная; вторая ручка черная. Тогда и .
Применяем формулы (1.2.1) и (1.2.3).
В данном случае события и несовместны.
1 случай. Так как после наступления ручка не возвращается, то в коробке окажется 7 ручек. Из которых 4 красных и поэтому
2 случай. (так как после наступления ручка возвращена в коробку).
а) . б) .
Задача 1.2.2
Прибор собирается последовательно четырьмя рабочими. Независимо от остальных 1-й может допустить брак вероятностью 0,1,2-й и 3-й - с вероятностью 0,09, а 4-й -0,15. Готовый прибор относится к I сорту, если ни один рабочий не допустил брак, ко II, если брак допущен 2-м или 3-м рабочим, к III сорту, если брак допустили 1 -й или 4-й рабочие и признаётся негодным в остальных случаях. Найти вероятности следующих событий: А - прибор признан I сорта; В - II сорта; С - Ш сорта; D - прибор признан негодным.
Решение: Обозначим Через Аi событие, состоящее в том, что i-ый рабочий не допустил брак, тогда -i-ый рабочий допустил брак i=1,2,3,4 . В условии дано Р(А1) =01; Р(А2)= Р(АЗ)=0,09 ; Р(А4)=0,15. Тогда P(A1)=0.9; P(A2)=P(A3)=0.91; Р(A4) = 0.85
Интересующие нас события можно представить следующим образом: A=A1А2А3А4; B=A1A2A3A4+ А2А3А4;C=A1A2A3A4+ A2A3А4. Событие D противоположно сумме событий А+В+С, т.е. D= A+B+C:
Применяем формулы (1.2.2) для независимых событий и (1.2.3) для несовместных событий-слагаемых в выражениях для В и С, получим
Задача 1.2.3
Вероятность того, что проходящая машина потребует заправки в данном пункте, равна 0.3. Сколько должно пройти машин чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0.9 можно было утверждать, что хотя бы одна потребует заправки?
Решение; Введем обозначения для событий : Аi –i-я машина потребует заправки и С - хотя бы одна машина из и потребует заправка. Тогда С=А1+А2+...+Аn.
Однако все слагаемые совместны, поэтому перейден противоположному событию С -“ни одна машина из n потребует заправки” получим
События A1 ,А2,..., An , а следовательно , _ A1 А2…Аn независимы и имеют одну и ту же вероятность
Поэтому По условию задачи те. Решая это неравенство, найдем последовательно n lg 0.7 lg 0,1, откуда . Окончательно получаем n=7.