Метод векторной диаграммы.

Колебания изображаются графически в виде векторов на плоскости (рис.27.5). Вектор-амплитуда вращается с угловой скоростью против часовой стрелки. Если в момент t = 0 вектор образует с осью Х угол , то проекцию вектора на ось Х можно записать в виде гармонического закона .

С

кие колебания с амплитудой, равной длине вектора, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

при сложении колебаний одного направления. Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы.

ледовательно, проекция вектора на ось Х будет совершать гармоничес-



t + 

Т

Х

акой способ удобно использовать

О

х

Рис. 27.5

Каждое из складываемых колебаний можно представить с помощью векто

ров и , сумма проекций которых на ось Х равна проекции суммы

векторов

Так как векторы и вращаются с одной и той же угловой скоростью , с той же угловой скоростью вращается и вектор . Значит, результирующее колебание тоже является гармоническим и имеет вид

,

Рис.27.6

Х

=



О

где и находим на рис. 27.6

5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Фигуры Лиссажу – это замкнутые траектории точки, совершающей два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским ученым Ж.Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы, а координаты точки х и у изменяются по законам

(7)

где - разность фаз обоих колебаний. Уравнения (7) представляют уравнение траектории в параметрической форме, где параметр t – время. Решая совместно оба уравнения с целью исключения параметра t, получим (без вывода) уравнение

(8)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. При = 0 уравнение (8) принимает вид

откуда получается уравнение прямой

.

Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой (рис.27.7).

Х

Х

Х

У

У

У

b

a

Рис.27.7

Рис.27.8

Рис.27.9

2. Разность фаз . Уравнение (8) имеет вид

.

Результирующее движение вдоль прямой (рис.27.8)

3) При уравнение (8) переходит в

т.е.уравнение эллипса, полуоси которого равны а и b (рис.27.9). При равенстве

а = b эллипс вырождается в окружность.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид достаточно сложных кривых.