II уровень

2.1. По стороне основания, равной 5 см, и высоте, равной 12 см, найдите апофему и боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды.

2.2. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в смежные боковые грани тетраэдра. Радиус окружности равен  дм.

2.3. Основание пирамиды – ромб со стороной 6 см и углом 45º, все двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны 30º. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

2.4. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 8 см, а плоский угол при вершине – 30º. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2.5. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды высотой  150 м и боковым ребром  220 м. Найдите объем этой пирамиды.

2.6. Определите объем правильной треугольной пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60º и удалена от противоположной вершины на расстояние, равное 3 см.

2.7. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 15 дм и 5 дм. Площадь диагонального сечения равна  дм². Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2.8. Основания усеченной пирамиды – равнобедренные треугольники, их равные стороны – 8 см и 4 см, углы при вершинах треугольников равны по 120º. Ребро, проходящее через вершины данных углов, перпендикулярно плоскости оснований и равно 3 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

2.9. Правильная четырехугольная пирамида, сторона основания которой 1500 см и высота 2000 см, пересечена плоскостью, параллельной основанию. Найдите объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 1400 см.

2.10. В правильной усеченной треугольной пирамиде стороны оснований равны 7 см и 3 см, а апофема – 5 см. Найдите объем пирамиды.

III уровень

3.1. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, две другие образуют с плоскостью основания угол . Найдите косинус угла между этими гранями.

3.2. Все диагональные сечения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равновелики. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения SAC.

3.3. Точка М – середина ребра SB пирамиды SABC, основанием которой является правильный треугольник ABC, а боковое ребро SC перпендикулярно плоскости ABC и SC = 2AB. Найдите расстояние от точки М до прямой AC, если АВ = а.

3.4. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом . Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3.5. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, острый угол которой , а площадь Q. Каждая боковая грань образует с основанием угол . Найдите объем пирамиды.

3.6. Основание усеченной пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 7 см. Вершина верхнего основания проектируется в точку пересечения диагоналей нижнего основания. Найдите длины остальных боковых ребер и угол наклона большего бокового ребра к плоскости основания.

3.7. Основания усеченной пирамиды – квадраты со сторонами 8 см и 4 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренной трапецией. Противолежащая ей грань образует с плоскостью основания угол 60º. Найдите площади боковых граней пирамиды.

3.8. Стороны оснований и высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся как 7 : 4 : 2, площадь боковой поверхности равна 110 дм². Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

3.9. Найдите объем правильной треугольной усеченной пирамиды, у которой стороны оснований равны 3 м и 2 м, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей оснований.

3.10. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 см и 1 см, высота – 3 см. Через точку пересечения диагоналей пирамиды, параллельно основаниям пирамиды, проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найдите объем каждой из полученных частей.