- •Дифференциальные уравнения
- •1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
- •2. Основные понятия дифференциальных уравнений
- •3. Дифференциальные уравнения I порядка
- •Геометрический смысл общего и частного решений
- •4. Задача Коши
- •5. Простейшие типы дифференциальных уравнений I порядка
- •5.1 Уравнения с разделяющимися переменными
- •5.2 Однородное уравнение
- •(Общий вид),
- •5.3 Линейное уравнение первого порядка
- •5.4. Метод Бернулли
- •6. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Понятие общего решения
- •Понятие частного решения уравнения
- •7. Уравнения, допускающие понижения порядка
- •8. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9. Свойства решений линейного однородного уравнения Левую часть уравнений
- •10. Линейные зависимые и линейные независимые системы функций
- •11. Определитель Вронского и его свойства
- •Свойства определителя Вронского
- •12. Фундаментальная система решений
- •13. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения
- •14. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
- •15. Нахождение решения линейного неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных
- •16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •16.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Случай 2. Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные .
- •16.2 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Случай 2. Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные .
Теорема 2. Если корни характеристического уравнения (4) действительные и равные k, то общее решение уравнения (3) имеет вид:
.
Доказательство. Пусть корни характеристического уравнения равны между собой и равны k, тогда мы знаем, что функция одно из решений уравнения (3) (частное). Так как уравнение второго порядка, то должно быть еще одно решение. Другое частное решение будем искать в виде:
, |
(*) |
где неизвестная функция, и должны быть линейно независимыми.
Найдем производные :
|
(**) |
|
(***) |
Подставляя равенства (*), (**), (***) в уравнение (3), получим тождество:
.
Сгруппируем слагаемые с и сократим на :
.
Так как есть корень характеристического уравнения (4), то последняя скобка равна нулю, кроме того, по теореме Виета: .
Остается .
Интегрируя это уравнение 2 раза, получаем:
Так как мы ищем второе частное решение уравнения (3), то достаточно в последнем равенстве положить .
Тогда и .
Нетрудно проверить, что является функцией, следовательно, и образуют фундаментальную систему решений. Тогда по теореме о структуре общего решения линейного однородного уравнения утверждаем, что:
.
Теорема доказана.
Пример 2.
Решение. . .
Ответ: .
Случай 3. Пусть корни характеристического уравнения (4) комплексные: .
Сначала докажем лемму.
Лемма. Если функция является решением уравнения (3), то ее действительная и мнимая части и также является решениями этого уравнения.
Доказательство. Пусть решение уравнения (3). Найдем производные и подставим их в (3):
.
Сгруппируем все с функцией u и v:
.
Комплексное выражение обращается в 0 тогда и только тогда, когда его действительные и мнимые части равны нулю, т.е.
.
Это говорит о том, что и решения уравнения (3).
Лемма доказана.
Теорема 3. Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение уравнения (3) имеет вид:
.
Доказательство. Пусть корни характеристического уравнения (4). Им соответствуют частные решения уравнения (3):
;
.
По формулам Эйлера имеем:
Тогда:
Раскрывая скобки, получим:
Эти функции являются решением (3), но тогда по лемме их действительные и мнимые части также являются решениями уравнения (3).
Таким образом, мы можем взять два частных решения уравнения (3):
Эти решения линейно независимы, т.к. . Значит, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). По теореме о структуре общего решения линейного однородного уравнения II порядка имеем:
, или
.
Теорема доказана.
Замечание. Если корни характеристического уравнения чисто мнимые , то полагаем и решение имеет вид:
.
Пример 3.
Решение.
.
Ответ: .
Обобщим все сказанное выше об уравнении II порядка на линейное однородное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами. Запишем уравнение:
. |
(1) |
Его общее решение находится так: записываем характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (1), и находим его корни.
. |
(2) |
где корни.
Частные решения уравнения (1) находим, руководствуясь правилами:
а) если простой действительный корень уравнения (2), то ему соответствует одно частное решение уравнения (1) вида:
.
б) если действительный корень характеристического уравнения (2) кратности s, то этому корню соответствуют s линейных независимых частных решений уравнения (1) вида:
.
в) если простой комплексный корень уравнения (2), то сопряженное число также простой комплексный корень уравнения (2). Этой паре комплексных чисел соответствуют два линейных независимых частных решения:
.
г) если корень уравнения (2) кратности т, то корень уравнения (2) кратности т. Этой паре комплексно сопряженных корней соответствует 2т линейно независимых частных решений уравнения (1):
Следуя пунктам а) – г), мы найдем п линейно независимых решений уравнения (1), а, сложив их, получим общее решение:
.
Пример 4.
Решение.
.
.
Ответ: