- •I. Понятие определенного интеграла
- •1. 1. Основные свойства определённого интеграла
- •2. По определению .
- •1. 2. Формула Ньютона-Лейбница
- •1.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •1.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •1.5. Интегрирование в симметричных пределах четных и нечетных функций
- •2. Приложение определенного интеграла
- •2.1. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.1.2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме
- •2.1.3. Площадь в полярных координатах
- •2.2. Вычисление объемов тел
- •2. 2. 1.Вычисление объема тела по площади поперечногo сечения
- •2.2.2. Объем тела вращения
- •2.3. Вычисление длины дуги
- •2.3.1. Длина дуги в полярных координатах
- •2.3.2. Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями , , где
- •2.3.3. Длина дуги в полярных координатах
- •2.4. Площадь поверхности вращения
- •2.5. Вычисление работы переменной силы
- •2.6. Вычисление центра тяжести плоской линии
- •2.7. Центр тяжести плоской фигуры
- •3. Задания для самостоятельной работы
- •Список литературы
- •Содержание
- •450062, Рб, г.Уфа, ул.Космонавтов, 1.
I. Понятие определенного интеграла
Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).
Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .
На каждом из отрезков (частичных) возьмем произвольные точки ξi (i=1,2,3…n). Во взятых точках вычислим значения функции f(x): f(ξ1), f(ξ2), f(ξ3)…, f(ξn).
Составим произведения длин ∆x1 , ∆x2, …,∆xn частичных отрезков на значения функции f(ξi).
Все эти произведения сложим и выразим сумму их через
(1)
где σ=f(ξ1)∆х1+f(ξ2) ∆х2+f(ξ3)∆х3+…+ f(ξn)∆хn; или
Сумму такого вида называют интегральной суммой, составленной для функции f(x) на отрезке [a;b].
Будем неограниченно увеличивать число делений отрезка [a;b] однако так, чтобы длина ∆xi каждого отрезка [xi-1;x] стремилась к нулю; и рассмотрим получающееся при этом множество интегральных сумм σ.
Если при этом разбиении интегральные суммы будут стремиться к одному и тому же пределу, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке[a;b].
Определение.
Если существует предел суммы (1) при ∆хi→0, то говорят, что функция f(x) интегрируема на [a;b], число I называют определенным интегралом от функции f(x) на [a;b]. ,
где числа «а» и «b» называются пределами интегрирования (или интеграла), соответственно нижним, верхним; отрезок [a;b] – промежутком интегрирования.
1. 1. Основные свойства определённого интеграла
1. По определению .
2. По определению .
3. Каковы бы ни были числа a, b, c, всегда имеет место равенство
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т. е.
.
5. Определённый интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.
.
1. 2. Формула Ньютона-Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) есть какая-либо первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
=F(b)-F(a) . (2)
Пример 1. Вычислить: .
Решение: применим формулу Ньютона-Лейбница:
=F(x)| =F(b) - F(a)
Преобразуем подынтегральную функцию
.
1.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть функции U(x) и V(x) имеют непрерывные производные на [a;b], тогда справедлива формула
. (3)
Пример 2. Вычислить: .
Решение: пусть , т. к. функции и непрерывны на вместе со своими производными, то согласно формуле (I) находим
.
1.4. Замена переменной в определенном интеграле
Пусть требуется вычислить , где f(x) - непрерывная на [a;b] функция. Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения вместо старой переменной новой переменной t, связанной со старой соотношением .
Итак, введем новую переменную t , положив .
Пусть выполняются следующие условия:
а) функция определена и непрерывна на отрезке ;
б) при изменении t на значения функции не выходят за пределы отрезка . При этом ;
в) Функция на отрезке имеет непрерывную производную .
Тогда имеет место равенство
(4)
При пользовании формулой (4) следует функцию стараться выбирать так, чтобы новый интеграл был более простым для вычисления, чем первоначальный.
Пример 3. Вычислить:
Решение: применим подстановку: . Найдем пределы интегралов для новой переменной при , при .
Следовательно, при применении x от 1/3 до 1 новая переменная t изменяется от 3 до 1.
Функция - убывает и непрерывна вместе со своей производной
на отрезке
Пример 4. Вычислить: .
Решение.