Пример решения задачи 9

Для центрально-сжатого стержня (рис. 9.2) длина стержня l = 4 м. Материал стержня ‒ сталь Ст. 5, вид поперечного сечения стержня задан схемой (рис. 9.2, б). Значение отрезка а равно а = 30 мм = 3 см.

1. Определение допускаемой силы.

Условие устойчивости по коэффициенту φ (9.5) содержит допускаемое напряжение на устойчивость .

Тогда значение допускаемой силы [P_у] для центрально-сжатого стержня равно

. (9.6)

Для вычисления [P_у] нужно знать площадь А поперечного сечения заданного стержня и значение коэффициента , которое выбирается из табл.9.6 по значению гибкости данного стержня , вычисляемой по формуле (9.2). Подставляем в эту формулу =0,5 (он указан на схеме стержня); – минимальный момент инерции заданного сечения ‒ это один из двух главных моментов инерции сечения I_max и I_min. Главные моменты инерции ̶ это моменты инерции относительно так называемых главных осей, в которых центробежный момент инерции равен нулю. Для выполнения расчётов найдём значения I_max, I_min и возьмём I_min .

А	Б

Рис. 9.2

Сначала, используя заданное значение a = 3 см, вычертим сечение в масштабе и проставим числовые значения характерных размеров (рис. 9.3, б).

Рассматриваемое сечение имеет следующие особенности.

Во первых, сечение имеет две оси симметрии, поэтому центр тяжести всего сечения находится на их пересечении − в точке С₁. Через эту точку проведём центральные оси всего сечения x_с и y_с (рис. 9.3, б).

Во вторых, для рассматриваемого симметричного сечения центробежный момент инерции в осях x_с и y_с равен нулю, и это означает, что центральные оси всего сечения x_с и y_с есть главные оси, и центральные моменты инерции сечения и есть искомые главные моменты инерции I_max, I_min.

В третьих, рассматриваемое сечение ‒ составное, и моменты инерции нужно вычислять, используя моменты инерции отдельных фигур, составляющих сечение. Сечение можно представить состоящим из следующих простых фигур: прямоугольника высотой 4а =12мм и шириной 3а =9мм и двух вырезов в виде полукругов диаметром 2а=6мм, т. е. составное сечение разложим на отдельные элементы (или фигуры). Присвоим им индексы i = 1, 2,3.

а ─ Заданная схема сечения	б ─ Чертёж сечения
в ─ 1-й элемент	г ─ 2-й и 3-й элементы

Рис. 9.3

Изобразим эти элементы отдельно, нанесём их центры тяжести и через точки проведём собственные оси каждого элемента (см. рис. 9.3, в, г). Заметим, что центр тяжести полукруга удалён от диаметра (см. табл. П.6 Приложения к данному пособию) на расстояние, равное

мм.

Оси элементов перенесём на составное сечение (рис. 9.3, б).

Возьмём за вспомогательные оси координат оси (x₁, y₁). Тогда координаты центра тяжести всего сечения равны нулю: x_с=0, y_с=0, и координаты центра тяжести каждой фигуры следующие:

, , .

Вычислим центральные моменты инерции всего сечения, используя формулы моментов инерции относительно параллельных осей:

, (9.7)

в которые входят геометрические характеристики i-элементов cечения: площадь А_i, осевые I_xi, I_yi моменты инерции относительно собственных осей элементов (x_i, y_i); и расстояния между осями a_i = y_i - y_c, b_i = x_i - x_c.

Значения площади и моментов инерции элементов cечения относительно собственных осей элементов подсчитаем по формулам, представленным в табл. П.6 Приложения. Необходимо сделать следующее примечание: для отверстий площадь и моменты инерции считаем отрицательными. В нашем примере отверстиями являются полукруги, для них площадь и моменты инерции принимаем со знаком « - ».

Для 1-го элемента (прямоугольника) получим

см², см⁴,

см⁴.

Для 2-го и 3-го элементов (полукруга) получим:

см²,

см⁴,

см⁴.

Теперь по (9.7) вычислим осевые моменты инерции всего сечения. Осевой момент инерции относительно оси x_c равен

см⁴,

Осевой момент инерции относительно оси y_c

см⁴.

Найденные центральные моменты инерции есть главные моменты инерции сечения. Укажем значения главных моментов инерции I_max, I_min:

см⁴, см⁴.

Потеря устойчивости происходит в плоскости минимального момента инерции I_min = 563 мм⁴, поэтому при вычислении гибкости стержня радиус инерции равен

Теперь подсчитаем гибкость стержня по (9.2),

Из табл. 9.5 выписываем соотношения для 2-х ближайших значений (λ = 70 и λ = 80) и с помощью прямой пропорции (или интерполирования) находим нужное значение _.

_{Имеем: при гибкости λ = 70 ̶ коэффициент φ = 0,81,}

при гибкости λ = 80 ̶ коэффициент φ = 0,75.

Нужное значение коэффициента

Теперь найдём значение допускаемой силы по (9.6):

=