10. Разные задачи.

Ниже приведены задачи, решение которых требует применения нескольких приемов интегрирования. Почти во всех этих задачах нужно сначала угадать выгодную замену переменной, которая привела бы в итоге к какой-нибудь стандартной формуле.

Пример 10.1.

. Сделаем замену переменной . Тогда

. Снова введем новую переменную . Тогда . Возвращаясь к старой переменной по формуле , получим

Пример 10.2.

Пример 10.3.

Пример 10.4. .

Пример 10.5. . Введем новую переменную и получим (см. пример 6.2. из раздела 6 интегрирование по частям). Тогда

Пример 10.6. . Введем новую переменную и найдем . Получим

Пример 10.7. . Сделаем замену переменной . Тогда . Получим

Пример 10.8.

Пример 10.9. . Введем новую переменную и найдем . Тогда

Пример 10.10. . Сделаем замену и найдем . Получим

. Представим правильную дробь как сумму простейших дробей:

.

Для нахождения неизвестных коэффициентов выпишем тождественное равенство исходного и вновь полученного числителей:

.

Придадим переменной значение . Тогда , откуда . Затем при тождество примет вид: , откуда . Тогда

Пример 10.11. . Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Положим . Найдем и . Тогда

Пример 10.12. . Применим здесь формулу интегрирования по частям, полагая . Тогда . Отсюда . Выделим в неправильной рациональной дроби целую часть делением числителя на знаменатель.

Получим

.

Пример 10.13.

Здесь мы заметили, что .

Пример 10.14. . Введем новую переменную . Тогда . Получим . Воспользуемся формулами . Тогда

Пример 10.15. . Введем новую переменную . Найдем . Тогда , откуда . Таким образом . Получили интеграл, вычисленный ранее в примере 6.9.

Пример 10.16. . Сделаем замену переменной . Тогда и . Разложим правильную дробь в сумму простейших дробей:

.

Из тождественного равенства числителей найдем неизвестные буквенные коэффициенты.

При тождество принимает вид , откуда .

При тождество принимает вид , откуда .

Отсюда

Предложим другое решение, которое использует интеграл, взятый в примере 5.8.

Пример 10.17. . Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.

Рассмотрим тождественное равенство исходного числителя и вновь полученного

.

Положим в нем последовательно , а затем приравняем друг другу коэффициенты при . Тогда получим систему уравнений для нахождения неизвестных буквенных коэффициентов:

.

Решая ее, найдем . Тогда

Вычислим отдельно . Сделаем замену . Найдем . Получим

. Тогда

Пример 10.18. . Сделаем замену и найдем . Получим . Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим из нее целую часть.

Тогда .

Последний интеграл взят в предыдущем примере 10.17. Воспользуемся этим результатом.

Затем вернемся к старой переменной .

Пример 10.19. . Сделаем замену переменной . При этом . Тогда

Пример 10.20. Вычислить .

Пусть .

При :

Рекомендуемая литература

1. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: «Наука», 1964.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Изд-во АСТ Астрель, 2006.

3. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.

4. Неопределенный интеграл. Методические указания к самостоятельному выполнению задания для студентов всех специальностей. Л.: ЛИСИ, 1989.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. М.: Айрис-пресс, 2006.

6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: «Наука», 1985.