- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие о дифференциальном уравнении. Некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •3.3. Уравнения, приводящиеся к однородным.
- •2) Метод Лангранжа – метод вариации произвольной постоянной.
- •3.5 Уравнение Бернулли
- •3.6. Уравнение в полных дифференциалах.
- •3.7 Интегрирующий множитель
Дифференциальные уравнения
Понятие о дифференциальном уравнении. Некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
В тех случаях, когда научную или техническую проблему можно сформулировать более вероятно, что задача сведется к одному или нескольким дифференциальным уравнениям. Это всегда имеет место для широкого класса проблем, связанных с силами и движением. Например, нахождение траектории искусственного спутника, траектории электрона в синхрофазотроне, изучение закона движения самолета или локомотива.
В электронике, радиотехнике, электротехнике, гидро -аэродинамике, теплотехнике, физике, химии, биологии и многих других областях науки техники большое количество задач сводится к дифференциальным уравнениям.
Пусть функция y=f(x) отражает количественную сторону некоторого явления. Часто, рассматривая это явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости y от x, а можем установить зависимость между величинами х , y и производными от y по x: y/, y//,…,y(n) , то есть написать дифференциальное уравнение.
Пример: с некоторой высоты сброшено тело, масса которого m. Требуется установить по какому закону будет изменяться скорость v падения этого тела, если на него, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости ( с коэффициентом пропорциональности к), то есть требуется найти v=f(t).
Решение. По второму закону Ньютона
m
-есть ускорение движущегося тела (производная скорости по времени), а F-сила, действующая на тело в направлении движения. Эта сила складывается из двух: силы тяжести mg и силы сопротивления воздуха -kv (знак «-», так как она направлена в сторону противоположную направлению скорости). Итак,
m
Мы получили соотношение, связывающее неизвестную функцию v и её производную , то есть дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции v. (Это уравнение движения некоторых типов парашютов).
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y и её производные y/, y//,…,y(n).
Обозначают так:
F(x,y, y/, y//,…,y(n))=0
или
F(x,y, , ,…, )=0
Если искомая функция у=f(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например, уравнения:
y/=у2+sinx есть дифференциальное уравнение первого порядка,
y//+ln(x+y+1)=0 есть дифференциальное уравнение второго порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
F(x,y, y/)=0 (1)
или
y/=f(x,y)=0 (1/)
то есть уравнение разрешено относительно производной.
Для такого уравнения справедлива теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.
Теорема: если в уравнение
y′=f(x, y)
функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в некоторой области Д на плоскости Oxy, содержащий некоторую точку (x0,y0), то существует единственное решение этого уравнения:
y=φ(x),
удовлетворяющее условию y=y0 при x=x0 .
Теорему примем без доказательства.
Геометрически это означает, что существует и притом единственная функция y=φ(x), график которой проходит через точку (x0,y0).
Из теоремы вытекает, что уравнение (1′) может иметь решение, график которого проходит через точку (x0,y1); другое решение, график которого проходит через точку (x0,y2) и т.д.То есть уравнение имеет бесконечное число различных решений.
Условие, что при x=x0 ,y=y0 называется начальным условием и обозначают :
(2)
Задача отыскания решения дифференциального уравнения (1′), удовлетворяющего начальным условиям (2), называется задачей Коши.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция y=φ(x,C),где С- произвольная постоянная и удовлетворяет следующим условиям:
При любом С удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Какого бы ни было начальное условие , можно найти такое значение С=С0, что y=φ(x,C0) удовлетворяет данному начальному условию.
В процессе решения уравнения общее решение получают в виде:
Ф(x,y,C)=0.
Определение. Частным решением дифференциального уравнения (1) называется функция y=φ(x,C0), которая получается из общего решения y=φ(x,C) и С=С0 определяют исходя из начальных условий (2).
Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ТИПОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:
(1)
где правая часть уравнения представляет произведение функции, зависящий только от x, на функцию, зависящий только от y.
Предполагая, что f2(y)≠0,запишем уравнение (1) в виде:
(1′)
Равенство (1′) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться на постоянную величину, то есть:
Последнее равенство есть решение дифференциального уравнения (1).
Итак, дифференциальное уравнение вида
M(x)dx+N(y)dy=0 (2)
Называют уравнением с разделенными переменными.
Его решением будет:
Дифференциальное уравнение вида:
M1(x)· N1(y)dx+ M2(x)· N2(y)dy=0 (3)
Называют уравнением с разделяющимися переменными.
Его легко привести к виду уравнения (2). Для этого разделим обе части уравнения на N1(y)· M2(x)
Получим
Пример. Решить уравнение
x(1-y2)dx+y(1-x2)dy=0
Уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на
(1-y2) ·(1-x2)
Умножим на (-2)
2С-const, ln C-const
(1-y2) ·(1-x2)=C- общее решение.
Задача. Установлено, что скорость распада радия прямо пропорционально его количеству в каждый данный момент. Определить закон изменения массы радия в зависимости от времени, если при t=0 масса радия была m0.
Решение. Пусть в момент времени t масса была m, в момент t+∆t масса m+∆m.
Скорость распада радия в момент t
По условию задачи
где k- коэффициент пропорциональности (k>0). Знак минус стоит потому ,что с увеличением времени масса радия убывает, следовательно
Получим уравнение с разделяющимися переменными
Так как при t=0 m=m0 ( начальные условия) определим значения постоянной С:
Получим Значение k определяется опытным путем.
3.2 ОДНОРОДНЫЕ УРУВНЕНИЯ.
Определение. Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных x и y, если при любом t справедливо тождество
f(tx,ty)=tnf(x,y)
Примеры.
1.f(x,y)=
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка
y′=f(x, y) (1)
называется однородным относительно x и y, если функция f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно x и y.
Однородную функцию нулевого измерения всегда можно привести к ф-ии отношения переменных.
Действительно, т.к.
Пусть , то
Ур-ие (1) принимает вид (1’)
Сделаем подстановку
или ,
Тогда или
Подставим в ур-ие (1’), получим
Это ур-ие с разделяющимися переменными:
или
откуда
Интегрируя, найдем
Пример. Решить ур-ие
разделим и числитель и знаменатель
правой части на
Общее решение
Замечание 1 Дифф-ое ур-ие вида
будет однородным только в том случае, если ф-ии и есть однородные ф-ии одного и того же измерения, т.е. –есть однородная ф-ия, нулевого измерения.
Замечание 2 Дифференциальное ур-ие вида называют однородным дифф-ым ур-ием первого порядка.