§3. Применения двойного интеграла

Двойные интегралы используются при решении многих геометрических и физических задач: вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, координат центра тяжести, момента инерции и т. д.

Вычисление геометрических величин

1. Если - ограниченная область плоскости , то ее площадь вычисляется по формуле

2. Пусть - неотрицательная, непрерывная функция в замкнутой области . Если - тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу - областью , а сбоку – соответствующей цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси и направляющей, совпадающей с границей области , то объем этого тела равен

3. Пусть - тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу – поверхностью , причем проекцией обеих поверхностей на плоскость служит область , в которой функции и непрерывны (и ), то объем этого тела равен

4. Пусть поверхность задана уравнением , , где функция , а также ее частные производные первого порядка, непрерывны в области . Тогда ее площадь вычисляется по формуле

Вычисление физических и механических величин

Предположим, что плоская пластина имеет поверхностную плотность распределения масс непрерывную в . Тогда масса этой пластины вычисляется по формуле

.

Моменты инерции и плоской материальной пластины с поверхностной плотностью относительно координатных осей , и начала координат соответственно вычисляются по формулам:

;

В случае однородной пластины (ρ=1) эти формулы принимают более простой вид:

, , .

Координаты центра тяжести материальной пластины с плотностью вычисляется по формулам

,

где

-

статические моменты пластины относительно осей и соответственно, а - ее масса.

В случае однородной пластины соответственно имеем:

, .

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

Имеем . Порядок интегрирования выберем так, как указано на чертеже (рис. 13)

Рис. 13.

Сначала определим координаты точки А:

и .

Проекция области на ось есть отрезок [0,2]. Таким образом,

Пример 2. Вычислить площадь параболического сегмента АОВ, ограниченного дугой ВОА параболы и отрезком ВА, соединяющим точки и

Ясно, что уравнение параболы имеет вид ( ). Фигура , площадь которой надо вычислить, ограничена снизу параболой , а сверху - прямой . Следовательно,

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

Вычисления по формуле

не применимы ввиду сложности пределов интегрирования. Произведем замену переменных по формулам

откуда

При этом

т. е.

В плоскости координат соответствующая линия имеет вид т.е. представляет собой окружность, а область - круг с площадью Используя соответствующие формулы, получаем

.

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

(а>0).

Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся формулой площади в полярных координатах

Первая функция определена при , а вторая - при так как при прочих значениях получается r<0. Соответствующая область имеет вид, изображенный на рис.14. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси можно ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить.

Рис. 14.

Имеем

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , .

Первые два уравнения изображают параболические цилиндры с вертикальной образующей, третье, т. е. - уравнение наклонной плоскости, а уравнение - плоскость . Соответствующее тело изображено на рис. 15; сверху его ограничивает поверхность .

Рис. 15.

Рис. 16.

Объем тела вычислим по формуле

где область изображена на рис. 16. Имеем

Пример 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , .

Тело, объем которого нужно вычислить, изображено на рис. 17. В силу симметрии тела относительно плоскости , вычислим объем половины тела и результат удвоим. Координаты точек А и В удовлетворяют системе уравнений и , откуда , .

Рис.17.

Следовательно,

Пример 7. Вычислить площадь поверхности сферы

Сфера симметрична относительно координатных плоскостей, поэтому будем вычислять площадь поверхности той части, которая расположена в первом октанте, а результат умножим на 8. Запишем поверхность верхней полусферы явно, т. е. в виде , и воспользуемся соответствующей формулой. Имеем:

Переходя к полярным координатам найдем искомую площадь

Пример 8. Определить массу круглой пластины радиуса R с центром в начале координат, если поверхностная плотность материала пластины в точке равна , где k>0 – фиксированное число.

Переходя от прямоугольных координат к полярным, имеем

Пример 9. Найти массу круглой пластины с поверхностной плотностью

Имеем:

Последний интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку относительно начала координат. Поэтому, делая подстановку , получим

Пример 10. Найти моменты инерции квадратной пластины , относительно осей координат и начала координат, если плотность пластины пропорциональна ординате точки пластины с коэффициентом k.

Вычисления производим по соответствующим формулам этого параграфа учитывая, что

1)

2)

3)

Пример 11. Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной параболой и прямой если плотность пластины постоянна и равна

Сделаем чертеж (рис. 18). Находим абсциссы точек А и В пересечения прямой и параболы Из системы уравнений находим и

Рис. 18.

1). Масса пластины равна

2). Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей

3). Координаты центра тяжести найдем теперь по формулам

Контрольные вопросы:

1. Приведите формулу для вычисления ограниченной области D плоскости Оху.

2. По какой формуле вычисляется масса плоской пластины с плотностью распределения масс ?

3. Приведите формулу для вычисления момента инерции плоской материальной пластины с поверхностной плотностью относительно оси .

4. По какой формуле вычисляется статический момент пластины относительно оси .

5. Приведите формулы для вычисления координат центра тяжести материальной пластины с плотностью .