- •Тема 2. Элементы математической логики. §1. Высказывания и логические операции над ними.
- •Виды логических операций:
- •§2. Формулы логических высказываний и таблицы истинности.
- •§3. Равносильность формул логики высказываний.
- •§4. Предикаты и логические операции над ними
- •§5. Кванторы всеобщности и существования.
- •§6. Анализ рассуждений. Простейшие правила вывода.
- •§7. Объем и содержание понятий. Способы определения понятий.
- •Тема 3. Основы комбинаторики
- •Тема 4. Элементы теории графов.
§4. Предикаты и логические операции над ними
Определение: Предложение, содержащее предметную переменную и становящееся высказыванием при подстановке вместо переменной ее значения, называется высказывательной формой. С помощью высказывательной формы каждому элементу из множества Х ставится в соответствие логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Высказывательная форма является функцией, определенной на множестве Х, со значением на множестве {ИСТИНА; ЛОЖЬ}. Такая высказывательная форма называется логической функцией или предикатом.
Предикат одноместный, если содержит одну предметную переменную: Р(х). Предикат многоместный, если содержит две или более предметных переменных: Р(х, у…).
Определение: Областью определения предиката называется множество значений, которые может принимать предметная переменная х.
Каждый предикат разбивает область определения на два подмножества: в одном из них он принимает истинное значение, в другом – ложное.
Определение: Областью истинности предиката называют то подмножество области определения, на котором он принимает истинное значение. Обозначают Тр.
Логические операции над предикатами:
О трицанием предиката Р(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях хÎU, при которых Р(х) становится ложным.
Обозначается
Область истинности предиката является дополнением к области истинности предиката Р(х).
Например:
Конъюнкцией предикатов Р(х) и Q(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех хÎU, при которых оба предиката Р(х) и Q(х) одновременно обращаются в истинные высказывания.
Обозначается
О бласть истинности конъюнкции есть пересечение областей истинности предикатов Р(х) и Q(х).
Например:
Дизъюнкцией предикатов Р(х) и Q(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех хÎU, при которых хотя бы один из предикатов обращается в истинное высказывание
Обозначается
О бласть истинности дизъюнкции есть объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(х).
Например:
И мпликацией предикатов Р(х) и Q(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в ложное высказывание при тех и только тех хÎU, при которых Р(х) становится истинным, а Q(х) - ложным.
Обозначается
Область истинности импликации есть объединение дополнения к области истинности Р(х) с областью истинности предиката Q(х).
Например:
Эквиваленцией предикатов Р(х) и Q(х) называется предикат, определенный на том же множестве U и обращающийся в истинное значение при тех и только тех значениях хÎU, при которых Р(х) и Q(х) одновременно обращаются в истинное или ложное высказывание.
О бозначается
Область истинности эквивалентности есть объединение пересечения областей истинности предикатов Р(х) и Q(х) и пересечения дополнений к областям истинности предикатов Р(х) и Q(х).
Например: