Алгебра высказываний.
Алгебра, в широком смысле этого слова – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.).
Объектами алгебры логики являются высказывания.
В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.
Высказывания могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – значение 0.
Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.
Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции.
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание
Основные логические операции.
Конъюнкция (логическое умножение).
В естественном языке соответствует союзу И.
В алгебре высказываний обозначение & или /\.
В языках программирования обозначение AND
Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
A |
B |
A&B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкция (логическое сложение).
В естественном языке соответствует союзу ИЛИ.
В алгебре высказываний обозначение \/.
В языках программирования обозначение OR.
Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
A |
B |
A\/B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Инверсия (логическое отрицание).
В естественном языке соответствует словам неверно, что… и частице не.
В
алгебре высказываний обозначение А
или ¬АВ языках программирования обозначение NOT
Инверсия – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
A |
¬A |
0 |
1 |
1 |
0 |
Импликация (логическое следование)
В естественном языке соответствует словам ЕСЛИ…, ТО…
В алгебре высказываний обозначение → или =>
Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное высказывание.
A |
B |
A→B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Эквивалентность (логическое равенство)
В естественном языке соответствует словам …тогда и только тогда…
В алгебре высказываний обозначение ↔ или <=> или =
Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны или истинны.
A |
B |
A↔B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций:
Инверсия;
Конъюнкция;
Дизъюнкция;
Импликация;
Эквивалентность
Задачи
№1. Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
1. Число 6—четное.
2. Посмотрите на доску.
3. Все роботы являются машинами.
4. У каждой лошади есть хвост.
5. Внимание!
6. Кто отсутствует?
7. Есть кошки, которые дружат с собаками.
8. Не все то золото, что блестит.
9. Х2 >=0
10.Некоторые люди являются художниками.
11. Выразите 1 час 15 минут в минутах.
12. Всякий моряк умеет плавать.
№2 Какие из следующих предложений являются высказываниями?
Определите их истинность.
1. Наполеон был французским императором.
2. Чему равно расстояние от Земли до Марса?
3. Внимание! Посмотрите направо.
4. Электрон — элементарная частица.
5. Не нарушайте правил дорожного движения!
6. Полярная Звезда находится в созвездии Малой Медведицы.
№3 Какие из приведенных высказываний являются общими?
1. Не все книги содержат полезную информацию. ,
2. Кошка является домашним животным.
3. Все солдаты храбрые.
4. Ни один внимательный человек не совершит оплошность.
5. Некоторые ученики двоечники.
6. Все ананасы приятны на вкус.
7. Мой кот страшный забияка.
8. Любой неразумный человек ходит на руках.
№ 4 Какие из приведенных высказываний являются частными?
1. Некоторые мои друзья собирают марки.
2. Все лекарства неприятны на вкус.
3. Некоторые лекарства приятны на вкус.
4. А — первая буква в алфавите.
5. Некоторые медведи — бурые.
6. Тигр — хищное животное.
7. У некоторых змей нет ядовитых зубов.
8. Многие растения обладают целебными свойствами
9. Все металлы проводят тепло.
№5 Определите истинность высказывания.
Все ребята умеют плавать.
Киев — столица Украины.
3. Некоторые кошки не любят рыбу.
Человек все может.
Невозможно создать вечный двигатель.
Каждый человек ‑ художник.
Прямоугольник есть геометрическая фигура.
Некоторые рыбы — хищники