3 Вопрос.

Аксиоматический метод

Как известно, множество натуральных чисел можно упо­рядочить при помощи отношения «меньше». Но правила по­строения аксиоматической теории требуют, чтобы это отношение было не только определено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.

Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет ме­сто одно и только одно из трех отношений: а=b,a>b,a<b.

Теорема 13. Если а<b и b<с, то а < с.

Доказательство. Эта теорема выражает свойство тран­зитивности отношения «меньше».

Так как а < b и b < с, то, по определению отношения «мень­ше», найдутся такие натуральные числа к и l, что b = а + к и с = b + l. Но тогда с = (а + к) + I и на основании свойства ассоциативности сложения получаем: с = а + (к + l). По­скольку к + I - натуральное число, то согласно определению «меньше», а < с.

Теорема 14. Если а < b, то неверно, что b < а.

Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица являет­ся наименьшим числом, т.е. 1 < а для любого натурального числа а.

Теорема 16.

1) a=b => a+c=b+c и ac=bс

2) a<b => a+c<b+c и ас<bс

3)а>b => а+с>b+с и ас>bc

Теорема 17 (обратная теореме 16).

1) а + с = b + с или ас=bc => а = b

2) а + с<b + с или ас < bc => а < b

3) а + с>b + с или ас>bc => а > Ь.

Теорема 18. Для любых натуральных чисел а и b сущест­вует такое натуральное число n, что nb > а.

Таким образом, отношение «меньше» позволило рас­смотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества натуральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чи­сел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках ак­сиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7, так как 9 – это 7 + 2. Нередко и неявное использова­ние свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Теоретико-множественный подход

Установленная связь между конечными множествами и на­туральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».

В аксиоматической теории это отношение определено сле­дующим образом:

а < b <=> (Ǝc є N) а + с = b

Если а < b, то это означает, что отрезок натурального ряда N_a является собственным подмножеством отрезка N_b, т.е. N_a c N_b и N_a ≠ N_b . Справедливо и обратное утверждение: если N_a – собственное подмножество N_b, то а < b. Тем самым отношение «меньше» получает теоретико-множественное ис­толкование: а < b в том и только в том случае, когда отрезок натурального ряда N_a является собственным подмножеством отрезка N_b:

а < b <=> N_a c N_b и N_a ≠ N_b

Так, справедливость неравенства 3 < 7 вытекает из того,

что {1,2, 3} с {1,2,3,4,5,6,7}.

Если воспользоваться терминологией, принятой в школь­ном курсе математики, то последнее определение отношения «меньше» можно сформулировать так: «Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а назы­вают раньше числа b».

Теоретико-множественная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать чис­ла, опираясь на знание их места в натуральном ряду. Однако сравнение чисел (особенно неболь­ших) часто выполняют иначе, используя связь чисел с конечными множествами. Например, если 3 – это число квадратов на рисунке 111, а 7 – число кружков на этом рисунке, то 3 < 7, потому что во втором множестве можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству квадра­тов. Этот способ установления отношения между числами 3 и 7 вытекает из теоретико-множественной трактовки отношения «меньше», данной выше: множество квадратов равномощно отрезку N₃, а множество кружков - отрезку N₇ и N₃ с N₇.