Задание 5.14
Найдите производные 1-го и 2-го порядков от функций, заданных параметрически.
1) |
10) |
19) |
2) |
11) |
20) |
3) |
12) |
21) |
4) |
13) |
22) |
5) |
14) |
23) |
6) |
15) |
24) |
7) |
16) |
25) |
8) |
17) |
26) |
9) |
18) |
27) |
28) |
29) |
30) |
Задание 5.15
Используя дифференциал первого порядка, найдите приближённо (ln2 0,693, ln3 1,099, ln5 1,609, 3,1416).
1) ; 7) ; 13) arctg 1,05; 19) ; 25) arcsin 0,05;
2) ; 8) 32,1; 14) ; 20) arctg 0,9; 26) ;
3) cos 1; 9) 51,9; 15) ; 21) ; 27) tg 1;
4) 41,8; 10) ; 16) sin 320; 22) ; 28) tg 440;
5) 23,1; 11) cos 310; 17) ; 23) 31,8; 29) ctg 470;
6) arctg 1,2; 12) sin 880; 18) 23,8; 24) cos 930; 30) .
Задание 5.16
С помощью формулы Тейлора найдите приближённое значение числа с точностью до 0,001.
1) e2; |
7) cos3/2; |
13) ln4; |
19) sin2; |
25) arctg2; |
2) ; |
8) sin3/2; |
14) ln5; |
20) cos2; |
26) arctg3; |
3) e3/2; |
9) cos1; |
15) ln6; |
21) sin3; |
27) arctg3/2; |
4) e5/2; |
10) sin4; |
16) |
22) cos3; |
28) arctg 5/2; |
5) ; |
11) sin5/2; |
17) cos4; |
23) arctg 7/2; |
29) e3; |
6) sin 7/2; |
12) ; |
18) cos 9/2; |
24) arctg 4; |
30) sin5. |
Задание 5.17
Найдите площадь треугольника, образованного прямой
, касательной и нормалью, проведёнными к графику заданной функции в точке с заданной абсциссой x0 или в точке, соответствующей значению параметра t0.
1) ; 3) ;
2) 4) ;
5) ; 18)
6) ; 19) ;
7) 20) ;
8) ; 21)
9) ; 22) ;
10) 23) ;
11) ; 24)
12) ; 25) ;
13) 26) ;
14) ; 27)
15) ; 28) ;
16) 29) ;
17) ; 30)
Задание 5.18
Пользуясь правилом Лопиталя, найдите пределы.
1. a) , б) ;
2. a) , б) ;
3. a) , б) ;
4. a) , б) ;
5. a) , б) ;
6. a) , б) ;
7. a) , б) ;
8. a) , б) ;
9. a) , б) ;
10. a) , б) ;
11. a) , б) ;
12. a) , б) ;
13. a) , б) ;
14. a) , б) ;
15. a) , б) ;
16. a) , б) ;
17. a) , б) ;
18. a) , б) ;
19. a) , б) ;
20. a) , б) ;
21. a) , б) ;
22. a) , б) ;
23. a) , б) ;
24. a) , б) ;
25. a) , б) ;
26. a) , б) ;
27. a) , б) ;
28. a) , б) ;
29. a) , б) ;
30. a) , б) .
VI. Исследование функции. Построение графика функции
1. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума
Говорят, что функция возрастает (убывает) на интервале , если для любых различных точек , из справедливо неравенство , т.е. если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Теорема 1. Если функция f(x) дифференцируема на (a; b) и ( ) для любого , то f(x) возрастает (убывает) на (a, b).
Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), определённой в некоторой окрестности x0, если существует некоторая окрестность (x0 – ; x0 + ) этой точки, такая, что для любого x(x0 – ; x0 + ), x x0 справедливо неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)); при этом f(x0) называют максимумом (минимумом) функции. Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума.
Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в промежутке (a,b) и x0(a, b) является точкой экстремума f(x), то .
Точки, в которых , называются стационарными точками f(x). Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в окрестности стационарной точки x0. Если при переходе через точку x0 меняет свой знак, то x0 является точкой экстремума. А именно, если при переходе через точку x0 :
а) меняет свой знак с минуса на плюс (т.е. при достаточно малых значениях ), то x0 является точкой минимума;
б) меняет свой знак с плюса на минус (т.е. при достаточно малых значениях ), то x0 является точкой максимума функции;
в) не меняет своего знака, то x0 не является точкой экстремума.
Иногда удобно пользоваться другим достаточным условием экстремума.
Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная точка функции f(x), дважды дифференцируемой в точке x0. Если , то x0 является точкой экстремума. Точнее говоря, если: а) , то x0 – точка минимума; б) , то x0 – точка максимума.
Точкой экстремума f(x) может оказаться и точка, в которой не определена. Стационарные точки и точки, в которых не определена, называют критическими точками функции.
Пример 1. Найти точки экстремума функции .
Р ешение. Наша функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки. . Стационарными точками являются . При переходе через точку не меняет своего знака, поэтому эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку меняет свой знак с «–» на «+», следовательно, – точка минимума (на рисунке получается «впадина»).
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке находят значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на концах отрезка, после чего сравнивают эти значения и выбирают наибольшее и наименьшее.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 3].
Решение. Функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки
.
Стационарными точками являются x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2; из них лишь x2 = 0 и x3 = 2 принадлежат промежутку [–1; 3] . Найдём значения функции в точках x = 0, x = 2, а также на концах отрезка: f(0) = 0,
f(2) =16 – 32 = –16, f(–1) = 1 – 8 = –7, f(3) = 81 – 72 = 9. Сравнив полученные значения, находим:
, .