9.2.3. Коливальна ланка описується диференціальним рівнянням другого порядку

Т²(d²y/dt²) + 2ξT(dy/dt) + y = kx, (9.19)

де параметри коливальної ланки: к – коефіцієнт передачі, Т – стала часу, ξ (ксі) – безрозмірний коефіцієнт демпфування (0 < % < 1).

Рівняння в операторній формі має вигляд

(Т²s² + 2ξTs + 1)Y(s) = kX(s). (9.20)

Передаточна функція коливальної ланки має вигляд

W(s) = Y(s)/X(s) = k/(Т²s² + 2ξTs + 1). (9.21)

Характеристичне рівняння коливальної ланки

Т²s² + 2ξTs + 1 = 0. (9.22)

Корені характеристичного рівняння

s_1,2 = α + jω. (9.23)

Перехідна функція коливальної ланки для х(t) = 1(t)

h(t) = к[1 – ωe^-αt]sin(ωt + φ), (9.24)

де φ = arctg(α/ω) – початкова фаза (або кут).

Перехідна характеристика коливальної ланки показана на рисунку 9.5 для коефіцієнта демпфування ξ = 0. Зауважимо, що чим менший коефіцієнт демпфування ξ, тим більша амплітуда коливань вихідної величини, а в ланці можуть виникати резонансні явища.

Рис. 9.5 – Перехідна характеристика коливальної ланки

Коливальними ланками є об’єкти і процеси, в яких енергія чи речовина може накопичуватися у двох елементах і між ними є обмін енергіями чи речовинами. Наприклад, електричні кола з ємкістю та індуктивністю, механічні системи з пружинними елементами.

9.2.4. Інерційна ланка другого порядку описується диференціальним рівнянням другого порядку в операторній формі типу

(Т₁s + 1)(Т₂s + 1)Y(s) = kX(s), (9.25)

де Т₁, Т₂ – сталі часу.

Передаточна функція ланки

W(s) = Y(s)/X(s) = k/((Т₁s + 1)(Т₂s + 1)). (9.26)

Перехідна функція інерційної ланки другого порядку для x(t) = 1(t) має такий вигляд:

h(t) = k[1 – (T₁e^-t/T₁ – T₂e^-t/T₂)/(T₁ – T₂)]. (9.27)

Перехідна характеристика інерційної ланки другого порядку показана на рис. 9.6.

Рис. 9.6. Перехідна характеристика інерційної ланки другого порядку

9.2.5. Інтегруюча ланка має вихідну величину, пропорційну інтегралу від вхідної величини. Рівняння інтегруючої ланки має вигляд:

y(t) = (1/T_i) (9.28)

T_i – стала інтегрування, яка визначає швидкість наростання вихідної величини.

Рівняння динаміки в операторній формі має такий вигляд:

Y(s) = (1/T_is)X(s). (9.29)

Передаточна функція інтегруючої ланки

W(s) = Y(s)/X(s) = 1/Т₁s. (9.30)

Перехідна функція інтегруючої ланки для x(t) = 1(t)

h(t) = (1/T_i)t. (9.31)

Перехідна характеристика інтегруючої ланки показана на рис. 9.7.

Рис. 9.7. Перехідна характеристика інтегруючої ланки

При подачі на вхід ланки одиничного ступінчатого сигналу вихідна величина поступово наростає зі сталою швидкістю. Нахил перехідної характеристики визначає стала інтегрування Т_і. Прикладами інтегрируючих ланок можуть бути електричні, гідравличні та пневматичні виконавчі механізми систеи автоматичного керування.

9.2.6. Ідеальна диференційна ланка являє собою ланку, у якій вихідний сигнал у є пропорційним до швидкості зміни вхідного сигналу х :

y = T(dх/dt). (9.32)

Передаточна функція диференційної ланки

W(s) = Y(s)/X(s) = Тs. (9.33)

Звернемо увагу на те, що в передаточній функції ступінь чисельника т = 1, натомість знаменника – п = 0 . Це означає, що ідеальна диференці-ююча ланка не може бути реалізована фізично.

9.2.7. Реальна диференційна ланка описується диференційним рівнянням виду:

T(dy/dt) + y = kT(dх/dt). (9.34)

В операторній формі запису маємо:

(Тs + 1)Y(s) = кТsХ(s). (9.35)

Передаточна функція реальної диференційної ланки:

W(s) = Y(s)/X(s) = kТs/(Тs + 1). (9.36)

Перехідна функція для х(t) = 1(t)

є експонентою

h(t) = ke^-t/T. (9.37)

Перехідна характеристика реальної диференційної ланки показана на рис. 9.8.

Рис. 9.8. Перехідна характеристика реальної диференційної ланки

Реальна диференційна ланка здійснює диференціювання вхідних сигналів наближено. Прикладами реальних диференційних ланок можуть бути електричні диференційні RC-кола, диференційні трансформатори, пневматичні амортизатори тощо.

9.2.8. Ланка з запізненням передає вхідний сигнал X без спотворень, але при цьому вихідний сигнал Y запізнюється на час τ відносно вхідного. Ланка з запізненням описується функцією зі зміщеним аргументом

Y(t)= X(t – τ), (9.38)

де τ – час запізнення (затримки).

На підставі теореми операційного числення про зміщення аргументу запишемо рівняння ланки з запізненням в операційній формі таким чином:

Y(s) = е ^{– τs}X(s). (9.39)

Звідси передаточна функція ланки із запізненням має вигляд:

W(s) = Y(s)/X(s) = = е ^{– τs}.

Перехідна функція ланки із запізненням для х(t) = 1(t) є одиничною ступеневою функцією із зміщеним аргументом

h(t) = 1(t – τ).

Перехідну функцію ланки із запізненням представлено на рис. 9.9.

Рис. 9.9. Перехідна характеристика ланки з запізненням

Розрізняють два основних види запізнення в об'єктах та елементах. Інерційне запізнення – обумовлене інерційностями об'єкта, транспортне запізнення – обумовлено часом транспортування (перемішення) маси або речовини. Наприклад, час переміщення задрукованої стрічки у рулонних друкарських машинах.