Задача 5.3
Сколько рабочих завода нужно обследовать в порядке случайной выборки для определения средней заработной платы, чтобы с вероятностью (Р), равной 0,954, можно было бы гарантировать ошибку не более 5 руб.? Предполагаемое среднее квадратическое отклонение σ = 20 руб.
Решение.
Из формулы находим п:
= 64 (человека).
Примечание. В формулах для определения необходимой численности выборки, получаемых из формул случайной ошибки выборки, предполагается обязательное знание величины дисперсии признака (σ2) или [w(l — w)]. Так, для повторной выборки при определении средней , а при определении доли . Для бесповторной выборки соответственно и
Обычно в этих формулах используется значение дисперсии признака в аналогичных предшествующих исследованиях или же проводится пробное обследование небольшого числа единиц, для которых определяется значение σ2. В случае изучения доли определенных единиц в совокупности при отсутствии каких-либо сведений о дисперсии принимается максимальное значение [w(l – w)], равное 0,25.
Задача 5.4
Средняя продолжительность горения, установленная путем испытания 10 случайно отобранных электрических лампочек, оказалась равной 1280 ч при среднем квадратическом отклонении 18 ч.
С какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом предельная ошибка выборки (т.е. расхождение между выборочной и генеральной средней) не превысит 12 ч?
Решение.
Поскольку п < 20, имеем дело с малой выборкой. Определяем среднюю ошибку малой выборки:
Из формулы предельной ошибки выборки находим:
Поскольку при малой выборке вероятность наступления той или иной ошибки выборки подчиняется распределению Стьюдента и, в частности, вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле
,
обращаемся к соответствующей таблице, где рассчитаны вероятности S(t) (см. таблицу Приложения 3), и находим для заданных п и t (на пересечении) значение S(t), а затем уже рассчитываем 2S(t)-1. Так, в нашем примере по таблице Приложения 3 для n = 10 — 1=9 и t=2 получаем S(t) = 0,962. Отсюда искомая вероятность допуска ошибки не более 12 ч равняется 2*0,962-1= =0,924.
(Значение п в таблице Приложения 3 принимается на единицу меньше числа наблюдений, т.е. как число степеней свободы. В нашем примере число наблюдений 10, следовательно, в таблице ищем графу с п = 9.)
Задача 5.5
Для определения средней заработной платы рабочих завода была произведена 20%-ная бесповторная выборка (по цехам) с отбором единиц пропорционально численности групп. Результаты выборки представлены в приводимой ниже таблице:
Цех |
Объем выборки, чел., пi |
Средняя заработная плата, руб., |
Среднее квадратическое отклонение, руб., σi |
1 2 3 |
120 100 180 |
873 886 900 |
30 80 60 |
Всего |
400 |
— |
— |
С вероятностью 0,997 (т.е. t = 3) определить пределы, в которых находится средняя заработная плата всех рабочих завода.
Решение.
А. Находим общую выборочную среднюю заработную плату:
(руб.)
Б. Находим среднюю из групповых дисперсий:
.
В. Определяем предельную ошибку выборочной средней заработной платы. Для типической бесповторной выборки
Отсюда генеральная средняя
или ,
т.е. средняя заработная плата всех рабочих находится в пределах от 880,5 руб. до 896,3 руб.
В статистике часто приходится сравнивать результаты двух (или более) выборок. И на основании сравнения двух выборочных средних (или долей) делается вывод о случайности или существенности их расхождений. Для этого абсолютная разность показателей сопоставляется со средней ошибкой разности . Если при п > 20 результат этого соотношения t< 3, то делается вывод о случайности расхождений. Если же объем выборки мал, т.е. п 20, то полученное значение t (фактическое) сравнивают с табличным, определяемым по таблицам t-распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы и уровне значимости. И если tфакт < tтабл , расхождения можно считать случайными. (Число степеней свободы при этом определяется как п1 + п2 — 2.)