Глава IV
Преобразование схем электрических цепей
4-1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЯ
При расчете электрических цепей часто возникает целесообразность преобразования схем этих целей в более простые и удобные для расчета. Так, например, при одном или нескольких источниках электрической энергии в ряде случаев удается преобразовать электрическую схему в одноконтурную или в схему с двумя узлами, что весьма упрощает последующий расчет.
Описываемые ниже приемы преобразования схем электрических цепей применимы для цепей постоянного и переменного тока; ради общности изложения они приводятся в комплексной записи.
Одним из основных видов преобразования электрических схем, часто применяемых на практике, является преобразование схемы со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов представляет собой сочетание более простых соединений - последовательного и параллельного, рассмотрению которых и посвящен данный параграф. Смешанное соединение разбирается в § 4-2.
Последовательное соединение
На рисунке 4-1 изображена ветвь электрической цепи, в которой последовательно включены комплексные сопротивления Z1, Z2, ..., Zn. Через все участки цепи, соединенные последовательно, проходит один и тот же ток .
Напряжения на отдельных участках цепи обозначены
через , ,… .
По второму закону Кирхгофа
или, что то же,
Сумма комплексных сопротивлений всех последовательно соединенных участков цепи
называется эквивалентным комплексным сопротивлением.
Рисунок 4-1. Последовательное соединение
Рисунок 4-2. Последовательное соединение однородных звеньев
Если мнимые части комплексного сопротивления
представляют собой сопротивления одинакового характера - индуктивного или емкостного (рисунок 4-2), то эквивалентное комплексное сопротивление Z находится в результате арифметического сложения в отдельности сопротивлений Rk, индуктивностей Lk или величин 1/Ck, обратных емкостям:
или
где
Ток в цепи равен:
Напряжения на участках цепи, соединенных последовательно, относятся как комплексные сопротивления этих участков: напряжение на k-м участке равно произведению суммарного напряжения на отношение комплексного сопротивления k-го участка к эквивалентному комплексному сопротивлению цепи:
.
Приведенные выше формулы справедливы при любых значениях Zk.
Параллельное соединение
На рисунке 4-3 изображена схема электрической цепи с двумя узлами. Между этими узлами параллельно соединены ветви с комплексными проводимостями Y1, Y2,…, Yn. Напряжение па всех ветвях одинаковое, равное .
Рисунок 4-3. Параллельное соединение
Токи в ветвях обозначены через , ,… . По первому закону Кирхгофа
или, что то же,
Сумма комплексных проводимостей всех ветвей, соединенных параллельно,
называется эквивалентной комплексной проводимостью.
Рисунок 4-4. Параллельное соединение однородных звеньев
Если мнимые части комплексов Yk = gk - jbk представляют собой проводимости одинакового характера — емкостного или индуктивного (рисунок 4-4), то эквивалентная комплексная проводимость Y находится в результате арифметического сложения отдельных активных проводимостей gk, емкостей Ck, или величии 1/Lk, обратных индуктивностям:
или
где
Суммарный ток в цепи равен:
.
Токи в ветвях относятся, как их комплексные проводимости: ток в k-й ветви равен произведению суммарного тока всех ветвей на отношение комплексной проводимости k-й ветви к эквивалентной комплексной проводимости:
Данным выражением особенно удобно пользоваться при n>2. При этом значения Yk могут быть любыми.
В случае параллельного соединения двух ветвей (n = 2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивления Z1 = 1/Y1 и Z2 = l/Y2 ветвей; эквивалентное комплексное сопротивление равно:
Токи в параллельных ветвях:
т.е. ток одной из двух параллельных ветвей равен суммарному току, умноженному на сопротивление другой ветви и деленному на сумму сопротивлений обеих ветвей.
4-2. СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЕ
Электрические схемы, имеющие смешанное соединение, могут быть преобразованы в более простую электрическую схему путем замены параллельных ветвей одной ветвью и соответственно последовательно соединенных участков цепи - одним участком.
На рисунке 4-5 показан пример электрической цепи со смешанным соединением. Эта схема легко приводится к одноконтурной. Первоначально вычисляется эквивалентная комплексная проводимость
Рисунок 4-5. Смешанное соединение
параллельных ветвей; затем находится величина, обратная проводимости, т.е. общее комплексное сопротивление параллельных ветвей; найденное комплексное сопротивление суммируется с комплексным сопротивлением последовательно включенного участка. Полученное суммарное комплексное сопротивление эквивалентно сопротивлению исходной цепи со смешанным соединением.
Рисунок 4-6 Цепная схема
Расчетные выражения для рассматриваемого случая будут следующие:
Суммарное комплексное сопротивление всей цепи равно:
а суммарный ток
Токи в ветвях относятся, как комплексные проводимости ветвей:
Таким образом, многоконтурная электрическая схема со смешанным соединением приводится к одноконтурной, имеющей суммарное комплексное сопротивление Z или соответственно суммарную комплексную проводимость Y. Распределение токов и напряжений в смешанной цепи подчиняется правилам, указанным в предыдущем параграфе.
Описанный выше порядок преобразования схемы и нахождения распределения токов принципиально применим и для так называемой цепной схемы, показанной на рисунке 4-6. Просуммировав комплексные сопротив-(страница)
Если исходной является схема рисунока 4-7,б и заданными параметрами являются R2, L2 и ω, то параметры эквивалентной цепи (рисунок 4-7, а) определятся из выражении:
Из полученных выражений видно, что числовые значения R1 и L1 эквивалентной цепи зависят от частоты.
Условия эквивалентности для цепей с последовательным и параллельным соединением сопротивления и емкости имеют вид:
При достаточно высокой частоте (ωC2R2)2>>1, и тогда
4-4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА В ЭКВИВАЛЕНТНУЮ ЗВЕЗДУ
Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена части цепи, соединенной по схеме треугольником, цепью, соединенной по схеме звезды, при которой токи и напряжения в остальной части цепи сохраняются неизменными. Иначе говоря, эквивалентность треугольника и звезды понимается в том смысле, что при одинаковых напряжениях между одноименными зажимами токи, входящие в одноименные зажимы, одинаковы. Это равносильно тому, что мощности в этих цепях одинаковы.
На рисунке 4-8 показан случай, когда преобразование треугольника в эквивалентную звезду дает возможность преобразовать многоконтурную схему в одноконтурную.
Для вывода расчетных выражений, служащих для преобразования треугольника в эквивалентную звезду, ниже приняты следующие обозначения (рисунок 4-9):
Z12, Z23, Z31 — сопротивления сторон треугольника;
Z1, Z2, Z3 — сопротивления лучей звезды;
, , — токи, подходящие к зажимам 1, 2, 3;
, , — токи в ветвях треугольника.
Рисунок 4-8. Упрощение схемы преобразованием треугольника в звезду.
Рисунок 4-9. Соединения треугольником (а) и звездой (б).
Выразим токи в ветвях треугольника через приходящие токи.
По второму закону Кирхгофа сумма напряжений в контуре треугольника равна нулю:
По первому закону Кирхгофа для узлов 2 и 1
Решение этих уравнений относительно дает:
Напряжение между зажимами 1 и 2 схемы рисунок 4-9, а будет:
а в схеме рисунок 4-9, б оно равно:
Для эквивалентности необходимо равенство напряжений при всяких токах и , т.е.
Это возможно при условии:
Третье выражение получается в результате круговой замены индексов.
Итак, комплексное сопротивление луча звезды равно произведению комплексных сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму комплексных сопротивлений трех сторон треугольника.
Выше было получено выражение для тока в стороне 1-2 треугольника в зависимости от токов и . Круговой заменой индексов можно получить токи в двух других сторонах треугольника;
4-5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗВЕЗДЫ В ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
В расчетах также возникает необходимость замены звезды эквивалентным треугольником. На рисунок 4-10 показан, например, случай, когда такая замена позволяет преобразовать сложную электрическую схему в одноконтурную.
При переходе от звезды к треугольнику заданными являются сопротивления звезды Z1,Z2,Z3.
Рисунок 4-10. Упрощение схемы преобразованием звезды в треугольник.
Выражения для искомых сопротивлений треугольника находятся в результате совместного решения трех уравнений (4-1),
Деление третьего уравнения на первое, а затем на второе дает:
Выражая отсюда Z23 и Z31 через Z12 и подставляя их в первое уравнение (4-1), получим:
откуда
Аналогично круговой заменой индексов получим:
Следовательно, комплексное сопротивление стороны треугольника равно сумме комплексных сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.
Токи в лучах звезды легко выражаются через токи в сторонах треугольника. С учетом положительных направлений на рисунок 4-9 имеем
4-6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ИСТОЧНИКИ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА
Два разнородных источника электрической энергии — источник напряжения и источник тока — считаются эквивалентными, если при замене одного источника другим токи и напряжения во внешней электрической цепи, с которой эти источники соединяются, остаются неизменными. На рисунке 4-11 изображены эквивалентные источники напряжения и тока, посылающие во внешнюю цепь ток и поддерживающие на своих зажинах одинаковое напряжение .
Условием эквивалентности источников, именуемым в дальнейшем правилом об эквивалентных источниках напряжения и тока, служит следующее соотношение между э. д. с. источника напряжения и током источника тока:
(4.3)
где Z — внутреннее комплексное сопротивление как источника напряжения, так и источника тока.
Действительно, напряжение на зажимах источника напряжения получается в результате вычитания из э. д. с. падения напряжения от тока в комплексном сопротивлении Z источника (рисунок 4-11,а).
Соответственно напряжение на зажимах источника тока при той же величине тока посылаемого во внешнюю цепь, равно падению напряжения от тока в комплексном сопротивлении Z источника (рисунок 4-11,б). В обоих случаях напряжения на зажимах источника одинаковы:
т. е. получается условие (4-3), не зависящее от тока нагрузки.
При отсоединении эквивалентных источников напряжения и тока от внешней цепи (I1 = 0) напряжение на зажимах обоих источников равно . Именно это обстоятельство и равенство внутренних комплексных сопротивлений обоих источников и обеспечивают их эквивалентность при любом режиме работы (см. § 7-9).
Следует заметить, что мощности, расходуемые во внутренних сопротивлениях эквивалентных источников напряжения и тока, неодинаковы. В первом случае полная мощность, расходуемая в источнике, равна , во
втором случае
Рисунок 4-11. Эквивалентные источники напряжения (а) и тока (б).
Например, при отсоединении источников от внешней цепи в первом случае мощность в источнике не расходуется, а во втором случае она составляет .
Поэтому эквивалентность источников следует понимать только в смысле неизменности токов, напряжений и мощностей во внешней электрической цепи, присоединенной к источникам.
Если внутреннее сопротивление источника напряжения равно нулю, то непосредственное применение формулы (4-3) для нахождения эквивалентного источника тока по заданной величине э. д. с. источника не представляется возможным. В таких случаях сопротивление внешней цепи, включенной последовательно с э. д. с, можно рассматривать в качестве внутреннего сопротивления источника, что позволит применить формулу (4-3).
В случае сложной электрической цепи замена источника напряжения эквивалентным источником тока или обратно может иногда упростить расчет.
Целесообразность такой замены проиллюстрирована, в частности, в следующем параграфе.
4-7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СХЕМ С ДВУМЯ УЗЛАМИ
Применим правило об эквивалентных источниках напряжения и тока к преобразованию схемы с параллельным соединением n ветвей, содержащих источники напряжения (рисунок. 4-12,а).
Заменяя заданные источники напряжения источниками тока, получаем схему рисунок 4-12,б. Источники тока в совокупности образуют эквивалентный источник тока
Рисунок 4-12. Преобразование параллельного соединения ветвей с источниками напряжений.
(рисунок 4-12, в), причем
Пользуясь этим соотношением, можно в конечном итоге перейти от схемы в к схеме г, являющейся эквивалентом исходной схемы а. Здесь
Таким образом, n параллельных ветвей с источниками напряжения между двумя узлами могут быть заменены одним источником тока (рисунок 4-12, в) или источником напряжения (рис. 4-12, г).
Ток во внешней цепи (в ветви с сопротивлением Zn+1) равен:
Напряжение между двумя узлами находится по формуле
Выведенные здесь выражения широко используются для расчета электрических цепей с двумя узлами, а также более сложных цепей, приводящихся к двум узлам.
4-8. ПЕРЕНОС ИСТОЧНИКОВ В СХЕМЕ
Расчет электрической цепи облегчается в ряде случаев в результате переноса в схеме источников э. д. с. или тока. Как это видно из уравнений Кирхгофа, токи в схеме определяются заданными величинами суммарных э. д. с. в контурах независимо от того, из каких отдельных слагающих они состоят. Поэтому изменение расположения в схеме источников э. д. с, при котором суммарные э. д. с. во всех контурах сохраняются неизменными, не влияет на токи в ветвях. Аналогично напряжения на ветвях определяются заданными величинами суммарных токов источников тока в узлах, и поэтому изменение расположения в схеме источников тока, при котором их суммарные токи во всех узлах сохраняются неизменными, не влияет на напряжения в схеме.
Если, например, требуется исключить источник э. д. с. из какой-либо ветви, то в данную ветвь вводится компенсирующая э. д. с, причем точно такая же э. д. с. вводится одновременно во все остальные ветви, сходящиеся в одном из узлов данной ветви. Компенсирующая и дополнительные э. д. с. имеют одинаковое направление по отношению к рассматриваемому узлу. В результате этого источник э. д. с. из ветви исключается и появляются источники э. д. с. в других ветвях схемы. Суммарные э. д. с. во всех контурах и соответственно токи в ветвях остаются прежними.
Итак, источник э. д. с. может быть перенесен из какой-либо ветви схемы во все другие ветви, присоединенные к узлу данной ветви, без изменения токов в схеме.
Рисунок 4-13. Перенос источников э.д.с. в схеме.
Справедливо и обратное положение: если во всех ветвях, кроме одной, сходящихся в узле, имеются одинаковые источники э. д. с. (рисунок 4-13,а), направленные
Рисунок 4-14. Перенос источников тока в схеме.
все к одному узлу или все от узла, то они могут быть заменены одним источником э.д. с. в ветви, в которой источник отсутствовал (рисунок 4-13,б).
Это положение подтверждается тем, что суммарные э. д. с. в контурах схем на рисунок 4-13, а и б одинаковы.
Имеется и другое доказательство данного положения: ввиду равенства э. д. с. всех источников вторые зажимы их могут быть объединены, как имеющие одинаковый потенциал. В результате такого объединения, показанного на рисунке 4-13, а пунктиром, получается схема рисунок 4-13,б.
В случае переноса источников тока они присоединяются к узлам схемы так, чтобы оставались неизменными их суммарные токи в узлах. Так, например, несмотря на то, что источники тока размещены в схемах рисунок 4-14, а и б различно, суммарные токи источников в узлах обеих схем одинаковы. Поэтому и напряжения между узлами не изменились.
Итак, источник тока может быть заменен источниками тока, подключенными параллельно всем ветвям, которые составляли контур с рассматриваемым источником.
4-9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ СХЕМ
Схема электрической цепи, в которой имеется ось симметрии, называется симметричной. Например, схема рисунок 4-16, а симметрична относительно вертикальной оси. В симметричных схемах легко выявляются точки или узлы с одинаковым потенциалом. В ветвях, присоединенных к таким узлам, токи равны нулю. Поэтому эти ветви можно разрезать, не нарушая распределения токов и напряжений в схеме. Точки, имеющие одинаковый потенциал, могут быть объединены.
Рисунок 4-16. Симметричная цепь (а и б) и ее отсеченная половина (в).
Рассечение ветвей, по которым не проходит ток, и объединение точек равного потенциала упрощают схему и облегчают расчет.
Рисунок 4-17. Симметричная цепь с неодинаковой полярностью источников (а) и ее закороченная половина (б).
Так, в симметричной схеме рисунок 4-16,б токи в соединениях, пересекающих ось симметрии, отсутствуют. Разрезав схему по оси симметрии, получим с обеих сторон одноконтурную схему рисунок 4-16, в, которая легко рассчитывается.
Допустим теперь, что полярность источников в симметричной схеме неодинакова (рисунок 4-17,а). В этом случае (равенство э. д. с. источников и различие их полярности) теки в симметричных ветвях (например, и ) и напряжения между соответствующими парами зажимов, симметрично расположенными относительно оси, равны по величине и противоположны по знаку. Отсюда следует, что напряжения между всеми точками, лежащими на оси симметрии, равны нулю ( =-, т. е. =0). Поэтому все точки схемы на оси симметрии могут быть замкнуты накоротко (рисунок 4-17,б). Таким образом, расчет сложных симметричных схем приводится к расчету более простых схем.
Рисунок 4-18. Симметричная мостовая схема (а, б) и ее преобразованная часть
Рисунок. 4-19. Симметричная мостовая схема (а) и ее преобразованная часть (б)
На рисунок 4-18, а и б показана симметричная мостовая схема, имеющая две оси симметрии — вертикальную и горизонтальную. В продольных ветвях ток отсутствует; потенциалы средних точек поперечных (перекрещенных) ветвей одинаковы.
Поэтому продольные ветви могут быть рассечены, а средние точки поперечных ветвей — объединены. В результате с обеих сторон получится одноконтурная схема (рисунок 4-18,в), расчет которой крайне прост.
Если изменить полярность одного из источников (рисунок 4-19,а), то роли продольных и поперечных ветвей поменяются и преобразованная часть схемы примет вид, показанный на рисунок 4-19,б.
В разобранных выше примерах э. д. с. источников были равны. В случае неравенства э. д. с. источников преобразование симметричной схемы удобно сочетается с методом наложения.