18.Дифы высших порядков. Понятия общего и частного решения.

Понятие общ. И част-го р-й.Диф. ур-е n-го пор-ка может быть зап-но:F(x,y’,y’’, =f(x,y,y’, )(2);Т:сущ-е р-я диф. Ур-я n-го пор-ка:Если в ур-и (2) ф-и ст-и в правойой части и ее производнойой непрерывны в некот –ой обл-ти, содержит Значение.y(x0)=y0,y’(x0)=y0’,y’’(x0)=y0’’, , то сущ –ет и притом единственное решение y=ф(x),уд-ее нач-м ус-м (3).Общ. реш-ем ур-я выс-го пор-ка –это ф-я от n пр-х пос-х, так что 1) при любых С1,С2…Сn эта ф –я удовлетворяет диф. Ур-ю.2)по зад-м начальным условиям (3) можно найти С1,С2…,Сn и они будут такими что ф –я y=ф(x,C1,C2,…,Cn)будет удовлетворять начальным усл. (3).Част. р-е диф. Ур-я –ф-я которая получается из общего решения при подстановке конечных значений C1,C2,…,Cn;

19.Дифы высших порядков, допускающие понижение порядка.

I. y^n=f(x)

Y^n=(y^(n-1))’=dy^(n-1)/dx

Dy^(n-1)/dx=f(x)

∫dy^(n-1)=∫f(x)dx

y^(n-1)=∫f(x)dx+G

проинтегрируем ещё (n-1) раз, получим общее решение дифференциального уравнения

y=φ(x;G1,G2,...Gn)

II. уравнение вида

F(x;y’;y’’;...y^n)=0

Особенность данного уравнения – отсутствие y

Y’=P(x)

Y’’=P’(x)

F(x;P(x);P’(x);...P^n-1)=0

Мы будем рассматривать частный случай уравнения второго порядка

F(x;y’;y’’)=0

F(x;P;P’)=0

Получим уравнение I-го порядка

P(x)=φ(x;C1)

Y’=φ(x;C1)

Y=f(x;C1;C2)

III. уравнение вида F(y;y’;y’’,...y^n)=0

Особенность – отсутствует Х

Y’(x)=Z(y)

Y’’=z’*y’=z’*z=z*dx/dy

F(y;z;z’,...z^(n-1))=0

Z=φ(y;C1;C2;...Cn-1)

Y’=φ(y;C1;C2;Cn-1)

Y=f(x;C1;C2...Cn)

20.Линейные однородные дифы второго порядка. Свойства.

Уравнение II порядка называется линейным, если оно линейно относительно y,y’и y’’.

Y’’+a1y’+a2y=f(x), где а1, а2 и f(x) либо функции, либо д.ч. если f(x)=0, то уравнение называется линейным однородным, если ≠, то неоднородным

Y’’+a1y’+a2y=0 (1)

Линейные однородные

Свойства

Т1: если у1 и у2 есть к-л решения уравнения (1), ТОО функция у1+у2 есть также решение уравнения

Т2: если функция у1, есть решение уравнения (1), С-произвольная постоянная, то С*У1 – есть тоже решение уравнения (1)

Определение1

Два решения, у1 и у2 ур-я(1) называются линейно независимыми, если их отношение

У1/у2 ≠ const

Определение2:

Два решения, у1 и у2 ур-я(1) называются линейно зависимыми, если их отношение у1/у2=const

Определение3 :если у1 и у2 есть функция от Х то определитель II порядка называется определителем Вронского и обозначается

│y1 y2 │

W(y1,y2)= │y’1y’2│

Т3: если у1 и у2 линейно зависимы на отрезке [a;b], то W для этой функции=0 на этом отрезке

Т4: если определитель Вронского ≠0 при каком-нибудь значении Х0є [a;b], то определитель Вронского≠0 ни в одной точке этого отрезка

Т5: если у1 и у2 есть линейно независимые на отрезке [a;b] решения уравнения (1), то определитель Вронского для этих функций не обращается в ноль ни в одной точке этого отрезка

Т6: теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения II порядка

Если у1 и у2 есть линейно независимые решения уравнения (1), ТОО функция

У=С1У1+С2У2(*) – есть общее решение

Доказательство: 1) предположим, что (*) является каким-нибудь решением уравнения(1)

По Т2 С1У1 и С2У2 являются решениями уравнения (1)

По Т1 сумма С1У1+С2У2 также является решением уравнения (1)

Предположим, что функция (*) является общим решением уравнения (1). Для этого предположим, что У(Х0)=У0 – начал. Усл.

Y’(x0)=y’, можно подобрать С1 и С2

Продифференцируем (*)

Y’=c1y1’+c2y2’(**)

В равенства(*) и (**) подставим начальные условия

Обозначим y1(Xo)=y10 y’1(Xo)=y’10

Y2(Xo)=y20 y’2(Xo)=y’20

Y0=c1y10+c2y20

Y’0=c1y’10+c2y’20

│y10 y20 │

∆=│y’10 y’20│ ≠0 т.к. это определитель для линейно-независимых функций

Т.к. главный определитель ≠ 0, систем имеет единственное решение

Получили общее решение: y=c1

21.Линейные однородные дифы второго порядка с постоянными коэф.

y’’+a1y’+a2y=0

y’’+py’+qy=0, p,q- действительные числа (1)

будем искать решение уравнения в виде показательной функции

y=e^kx

y’=ke^kx

y=k^2e^kx

k^2e^kx+pke^kx+qe^kx=0

e^kx не=0, при любых x, то k^2+pk+q=o – характеристическое уравнение, соответствующее

однородному уравнению (1)

рассмотрим 3 возможных случая:

1. D>0, уравнение имеет « действительных корня к1 и к2. подставим эти значения в равенство: y=e^kx,

получим две функции: y1=e^k1x y2=e^k2x

проверим линейную независимость

y1/y2=e^k1x/e^k2x=e^k1x-e^k2x=e^(k1-k2)x≠const

y1 и y2- линейные названия функции. Общее решение уравнения имеет вид:

y=c1*e^k1x+c2*e^k2x

2. D=0, уравнение имеет 2 действительных(одинаковых) корня к1=к2=к

y=e^kx*(c1+c2x+c3x^2+...)

3. D<0, характеристическое уравнение имеет комплексные корни

к1 и к2 α+-βi

22.Линейные неоднородные дифы второго порядка.

Y’’+py’+qy=f(x);т:общ. Реш-е лин-го неод-го ур-я представляет собой сумму общего р-я однор-го ур-я и люб-го его част-го р-я неоднородного ур-я.Yон=Уоо+Учн;Р-е частн. Однр-го ур-я Если в правой части ур-я ф-я f(X) пред.собой либо многочлен либо пок-ю ф-ю,либо тригонометр-ю ф-ю sinβx,cosβx либо лин-е комбинации преч-х ф-й, то част-е р-е может нах-ся методом неопр-х коэф.1)f(x)=pn(x);pn(x)=a0 ;част-е р-е стоит искать в виде Учн=Qn(x)* 2)f(x)= точгда част-е р-е след. Искать в виде:Учн= r-число кор. Ур-я m;3)f(x)=acosβx+bsinβx;Учн=(acos ) где А,b,β-неиз-е числа;r-чи-ло кор.ур-я рав.βi;f(x)= Учн= Qs и Rs-многоч-ны степ. S;Sмакс из чисел[n;l];r-ч-ло кор-й хар-го ур-я равного m+βi;