Частотные характеристики

Частотные характеристики – характеристики качества работы системы управления в установившемся частотном режиме.

Частотный режим – режим, при котором на вход системы управления подаётся переменный сигнал в виде синусоидальной (гармонической или частотной) функции от времени. При этом на выходе системы возникает синусоидальный сигнал той же частоты, но с другой амплитудой и смещённый по фазе.

Эти характеристики позволяют оценить то, как быстро можно менять входной сигнал, чтобы система успевала на него реагировать.

Общий вид синусоидальной функции от времени входного сигнала:

Общий вид синусоидальной функции от времени выходного сигнала:

Здесь А₁ – амплитуда входного сигнала;

А₂ – амплитуда выходного сигнала;

 – общая циклическая частота сигналов;

₁ – фаза входного сигнала;

₂ – фазы выходного сигнала.

Установившийся частотный режим – частотный режим, при котором частота, амплитуды и фазы сигналов в системе постоянны во времени.

Существует две частотные характеристики:

• амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

• фазово-частотная характеристика (ФЧХ).

А мплитудно-частотная характеристика – зависимость от частоты отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала.

То есть, при постоянной амплитуде входного сигнала амплитуда на выходе будет разной на разных частотах работы системы. Графически это может выглядеть, например так:

Для системы с такой АЧХ будет иметь место некоторая частота «_Р» – резонансная частота, при которой будет происходить максимальное усиление амплитуды «А_m» на выходе, по отношению к амплитуде на входе. Как правило, это имеет место для систем с колебательным переходным процессом (см. приложение 1). Системы с монотонным (безколебательным) переходным процессом не имеют резонансной частоты.

Чем более колебательна система, тем выше «пик» максимального усиления амплитуды при резонансной частоте. Условный показатель колебательности системы:

Отмечают так же частоту среза «_СР», выше которой выходное усиление амплитуды становится меньше начального «А₀».

Полоса пропускания «_ПР» – рабочая полоса частот, в которой система может работать эффективно. При больших частотах система практически перестаёт реагировать на входной сигнал – усиление амплитуды на выходе составляет менее 0.7А₀.

Фазово-частотная характеристика – зависимость от частоты разницы фаз выходного и входного сигналов.

Эта характеристика показывает, на сколько выходной сигнал отстаёт от входного при разных частотах работы системы.

Очевидно, что чем быстрее изменяется входной сигнал (больше частота), тем больше отставание выходного.

Это менее информативная характеристика, не дающая дополнительных показателей.

Для расчёта этих характеристик пользуются комплексной передаточной функцией, которая ещё называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Это комплексное выражение, состоящее из вещественной (Re) и мнимой (Im) частей:

Здесь i – мнимая единица ( ) .

Эта комплексная передаточная функция получается из обычной передаточной функции (см. приложение 2) заменой символа дифференцирования «р» на произведение «i»

Например, для передаточной функции второго порядка:

Комплексная передаточная функция составится следующим образом:

С учётом того, что , , , и так далее, получается:

Группируем вещественные (без «i») и мнимые (с «i») слагаемые:

Умножаем числитель и знаменатель на комплексную величину, сопряжённую знаменателю (с другим знаком):

Знаменатель преобразуется по формуле для разности квадратов :

Этим избавились от «i» в знаменателе. Далее раскрываем скобки в числителе и группируем вещественные и мнимые слагаемые:

Выражения вещественной и мнимой частей АФЧХ для данного примера:

В этих выражениях одна переменная величина – частота «». Остальные – известные постоянные коэффициенты.

График АФЧХ строится на комплексной плоскости (горизонтальная ось – вещественные числа, вертикальная ось – мнимые числа):

График строится как параметрически заданная функция от аргумента «» – частоты, изменяющейся от 0 до .

Сначала для  = 0 вычисляются выражения Re() и Im(). Получаются координаты первой точки на комплексной плоскости. Затем вычисляются координаты Re() и Im() для значений частот ₁ , ₂ , ₃ ,… _n ,и так далее до . Соединяя эту серию точек на комплексной плоскости получаем график АФЧХ.

Радиус-вектор, обегающий эту кривую определяет АЧХ и ФЧХ. Длина этого вектора при соответствующей частоте – значение АЧХ при этой частоте. Угол этого вектора – значение ФЧХ при этой частоте.

Из геометрических соображений получаются выражения для частотных характеристик АЧХ и ФЧХ:

Приложение 8