1. Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции.
Перевод целых чисел.
Пусть Aц- целое десятичное число и пусть p=2.
Тогда и его можно представить в виде (в его разложении отсутствуют коэффициенты с отрицательными индексами):
Aц=an-1*2n-1+an-2*2n-2+...+a0*20
Разделим число Aц на 2. Частное будет равно
an-1*2n-2+...+a1
а остаток равен a0
Полученное неполное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a1
Если продолжить процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр
a0, a1, a2..., an-1
которые входят в двоичное представление числа Aц и совпадают с остатками при последовательном делении данного числа на 2. Но мы их получили в порядке, обратном порядку расположения числа Aц:
Aц=an-1an-2...a1a0
Пример Перевести десятичное число 11 в двоичную с.с.
Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода ) удобнее изобразить так:
Записывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим:
1110=10112
Перевод дробных чисел.
1)Основание новой с.с. выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления ;
2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основе новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой с.с;
3) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой с.с. , привести в соответствие с алфавитом новой с.с.;
4) составить дробную часть числа в новой с.с., начиная с целой части первого произведения.
Пример
Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.
Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.
Отсюда: 0.187510=0.00112=0.148=0.316
Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно.
При переводе в восьмеричную с.с. двоичное число разбиваем на группы по 3 цифры справа налево начиная с младшего разряда.
Затем каждую тройку цифр заменяем соответственно цифрой восьмеричной с.с..
Дробную часть разбиваем от запятой вправо на группы по 3 цифры.
Обратный переход - от восьмеричной с.с. к двоичной - осуществляется заменой каждой восьмеричной цифры ее двоичным эквивалентом (тремя двоичными цифрами).
Для шестнадцатеричной с.с. - четырьмя двоичными цифрами.
Таблица переводов является производной от Таблицы 1, фактически дублируя ее.
Таблицы переводов
|
Двоичная |
Восьмеричная |
||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 |
000 001 010 011 100 101 110 111 |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
Двоичная |
Шестнадцатеричная
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
Примеры
1) Переведите двоичные числа в восьмеричную с.с..
a)
б)
2) Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную с.с..
a)
б)
Перевод смешанных чисел.
Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой с.с. целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).
Пример Перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и в шестнадцатеричную с.с.. Из рассмотренных выше примеров следует: 315.187510=473.148=13B.316 .