- •Численные методы
- •Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к виду для обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- •Приложение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений 26
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений 30
3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
Пусть требуется найти действительные решения системы двух уравнений с заданной точностью
.
Для этого перепишем исходную систему в приведенном (итерационном) виде: . Пусть и – начальные приближения корней, полученные графическим или каким-либо другим способом. Подставив эти значения в правые части приведенной системы уравнений, можно получить
Аналогично можно получить второе приближение
В общем случае Если функции и
непрерывны и последовательности и сходятся, то пределы их дают решение приведенной, следовательно, и исходной системы.
Сходимость метода
Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одно и только одно решение и приведенной системы.
Тогда если:
1) функции и определены и непрерывно дифференцируемы в ;
2) начальные приближения , и все последующие приближения , принадлежат ;
3) в выполнены неравенства или
неравенства , то процесс последовательных приближений сходится к решению , .
Оценка погрешности -го приближения определяется неравенством:
,
где – наибольшее из чисел и , входящих в эти неравенства.
Сходимость метода считается хорошей, если ; при этом . Поэтому если в двух последовательных приближениях совпадают, например, три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0,001.
Пример. Методом итерации решить систему с точностью до .
Решение.
1) Приведем систему к форме:
2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Построив два графика и и найдя их точку пересечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в области и .
3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процесса:
Следовательно,
и т.е. условия сходимости выполняются.
4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:
Выберем следующие начальные значения: .
|
0,15 |
0,1616 |
0,1508 |
0,1539 |
0,1510 |
0,1519 |
0,1510 |
|
-2 |
-2,035 |
-2,0245 |
-0,0342 |
-2,0313 |
-2,0341 |
-2,0333 |
Поскольку , то и .
3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
Сущность метода скорейшего спуска заключается в том, что искомое решение системы рассматривается как минимум некоторой функции в -мерном пространстве , и этот минимум ищется в направлении, противоположном направлению градиента функции , то есть в направлении скорейшего убывания этой функции. Фунция связана с функциями исходной системы соотношениями:
.
Пусть точка является начальным приближением к искомому решению. Через эту точку проводится поверхность уровня , а также нормаль к данной поверхности, которая указывает направление скорейшего убывания функции . Точка, в которой нормаль касается новой поверхности уровня , будет следующим приближением к исходному решению. Нормаль, проведенная к этой поверхности через точку , даёт возможность дойти до точки , в которой нормаль касается какой-то другой поверхности , и т. д.
Так как , где то последовательность точек , , … приведет к минимальному значению функции , т. е. к искомому решению исходной системы.
Последовательные приближения определяются из матричного равенства , где через обозначен вектор в -мерном пространстве, указывающий координаты точки , т. е. значение -го приближения; – параметр, характеризующий изменение функции вдоль соответствующей нормали, – градиент функции в точке .
В общем случае параметр может быть найден из уравнения:
, (1)
где – скалярная функция, определяющая изменение функции . При этом берется наименьший положительный корень уравнения (1).
Если считают малой величиной и не учитывают членов, содержащих во второй и высших степенях, то приближенно искомое решение можно найти из матричных равенств , , , где
,
,
.
Важным достоинством метода скорейшего спуска является его неизбежная сходимость. Поэтому его рекомендуется применять для уточнения решения в тех случаях, когда другие итерационные методы расходятся.
Пример. Методом скорейшего спуска приближенно вычислить корни системы:
Решение. Пусть .
Здесь и .
Подставляя нулевое приближение, будем иметь
, , , , ,
.
Вычислим .
Аналогично найдем второе приближение
.
Тогда .
Для контроля вычислим невязку: и так далее.
Получаем решение системы: