2.1.2. Основні закони розподілу ймовірностей
Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини може виражатися різними аналітичними формулами.
А. Б і н о м н и й з а к о н р о з п о д і л у. Нехай проводиться n незалежних випробувань за схемою Бернуллі і р = Р(А) – імовірність появи події А в кожному окремому випробуванні. Сформулюємо задачу: написати закон розподілу дискретної випадкової величини – числа появ події А в цих n випробуваннях.
Випадкова величина може набути значень Імовірності можливих значень випадкової величини обчислимо за формулою Бернуллі:
(2.1)
і одержимо закон розподілу описаної випадкової величини (табл. 2.2).
Таблиця 2.2
Х = xi |
0 |
1 |
2 |
… |
n |
р = pi |
|
|
|
… |
|
Одержаний у формі такої таблиці закон розподілу дискретної випадкової величини називається біномним.
Приклад 2.2. Прилад складається з чотирьох елементів і ймовірність наявності технічних неполадок у кожному з них становить 0,5. Написати закон розподілу випадкової величини Х – числа елементів приладу, в яких наявні технічні неполадки. Визначити ймовірність того, що число елементів приладу, в яких наявні технічні неполадки, буде більше ніж два.
Розв’язання. Випадкова величина X є дискретна і може набувати значень , За формулою Бернуллі обчислимо відповідні ймовірності цих можливих значень, знаючи, що :
; ;
; ; .
Зробимо перевірку: .
Закон розподілу даної випадкової величини X має форму:
Х = хi |
|
|
|
|
|
р = рi |
|
1/4 |
3/8 |
|
|
Імовірність події В – число елементів приладу, в яких є більше ніж дві технічні неполадки, дорівнює:
.
Із таблиці також видно, що найімовірніше число елементів приладу, в яких є технічні неполадки,
Б. Р о з п о д і л П у а с с о н а. Розподіл імовірностей дискретної випадкової величини Х, яка набуває значень : 0, 1, 2, …, n, … з імовірностями
(2.2)
називається законом розподілу Пуассона, що залежить від параметра , > 0.
Розподіл Пуассона записують у формі таблиці (табл. 2.3).
Таблиця 2.3
Х = xi |
0 |
1 |
2 |
… |
n – 1 |
п |
… |
р = pi |
|
|
|
… |
|
|
… |
Підсумовуючи всі ймовірності розподілу Пуассона і використовуючи рівність
отримуємо підтвердження основної властивості розподілу:
Під час вивчення схеми Бернуллі було зауважено, що при великих n для обчислення ймовірностей доцільно використовувати асимптотичні формули Пуассона, Лапласа, які полегшують ці обчислення. Зокрема, з асимптотичної формули Пуассона випливає, що за допомогою розподілу Пуассона можна апроксимувати біномний закон розподілу, коли число експериментів n необмежено зростає (n й одночасно ймовірність р = р(п) (імовірність успіху в одному експерименті) необмежено зменшується (р0) так, що їх добуток пр наближається до числа : .
Приклад 2.3. Електронна пошта банку підтримує зв’язки із сотнею абонентів. Імовірність того, що за одиницю часу на електронну пошту надійде повідомлення від абонента, становить Написати закон розподілу величини Х – числа надходження сигналів від абонентів. Яка при цьому з подій є більш імовірною: В – за одиницю часу надійдуть сигнали від 3-х абонентів, С – за одиницю часу надійдуть сигнали від 4-х абонентів?
Розв’язання. У даному випадку проводиться n = 100 випробувань за схемою Бернуллі і випадкова величина X може набувати значень , …, . Імовірність події А – надходження сигналу від одного абонента є мала, а число n = 100 є велике і тому відповідні ймовірності обчислюємо за формулою (2.2):
;
;
;
.................................................
.
Закон розподілу описаної в задачі дискретної випадкової величини Х записуємо у формі таблиці:
Х = xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
р = pі |
0,1353 |
0,2707 |
0,2707 |
0,1804 |
0,0902 |
… |
Із наведеної таблиці видно, що і тобто більш імовірно, що сигнали надійдуть від 3-х абонентів, аніж від 4-х.
В. Г е о м е т р и ч н и й р о з п о д і л. Нехай знову проводиться п випробувань за схемою Бернуллі і ймовірність появи події А в кожному випробуванні становить р, а q = 1 – p. Випробування припиняються, як тільки з’явиться подія А. Це означає, що коли подія А з’явилася в т-му випробуванні, то в попередніх т – 1 випробуваннях вона не з’являлася.
Приймемо, що дискретна випадкова величина Х є число випробувань, які необхідно провести до першої появи події А. Можливими значеннями випадкової величини Х є х1 = 1, х2 = 2, ... . Оскільки є ймовірність того, що подія в т – 1 випробуваннях не з’явиться, а р – імовірність того, що вона з’явиться в т-му випробуванні, то
. (2.2)
Закон розподілу дискретної випадкової величини Х, що виражається формулою (2.2), називається геометричним, бо права частина цієї формули – загальний член геометричної прогресії:
Геометричний закон розподілу дискретної випадкової величини записують у формі таблиці (табл. 2.4).
Таблиця 2.4
|
1 |
2 |
3 |
… |
т |
… |
|
р |
pq |
pq2 |
… |
pqm – 1 |
… |