2.Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных. Определитель матрицы А D(A) обозначим ∆ и назовем определителем системы, т.е.

∆=D(А).

Пусть ∆ ≠ 0.

Составим матрицу – столбец В из свободных членов. Если в определителе системы поочередно заменить столбцы из коэффициентов при неизвестных на столбец свободных членов, то получим определители для неизвестных и обозначим их:

∆x; ∆y; ∆z.

Тогда формулы Крамера для решения системы линейных уравнений запишутся так:

; ;

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю, т.е. ∆=0.

Здесь возможны два варианта:

1. ∆=0 и каждый определитель ∆x=0; ∆y=0; ∆z=0.

Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. ∆=0 и хотя бы один из определителей ∆x≠0.

При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Решим заданную систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Вычислим определитель системы ∆ и определители ∆x; ∆y; ∆z:

Найдем значения x, y, z по формулам Крамера:

; ;

Итак, получаем ответ: x=1; y=2; z=3

3.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса в матричной форме.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных, т.е. систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей.

Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.

Решим заданную систему уравнений, используя метод Гаусса:

Переставим третье уравнение на место первого:

Запишем расширенную матрицу:

Чтобы в 1-м столбце получить а₂₁=а₃₁=0, умножим 1-ю строку сначала на

(-3), а затем на (-2) и сложим результаты со 2-й и 3-й строками:

Умножим 2-ю строку на и полученные результаты сложим с 3-й строкой:

=

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:

С помощью последовательных подстановок находим неизвестные:

;

;

;

Итак, получаем ответ: x=1; y=2; z=3

Рекомендации по выполнению второго задания домашней контрольной работы по теме «Интегральное исчисление» Вычисление интегралов. Замена переменных.

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием

удаётся не всегда. Одним из наиболее эффективных приёмов

является метод подстановки или замены переменной интегрирования.

Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной интегрирования удаётся свести заданный интеграл к

новому интегралу, который берётся непосредственным интегрированием.

Рассмотрим этот метод :

Пусть - непрерывная функция

необходимо найти : (1)

Сделаем замену переменной интегрирования :

х = φ (t) (2)

где φ (t) – монотонная функция, которая имеет непрерывную производную

и существует сложная функция f (φ (t)).

Применив к F (х) = F(φ (t)) формулу дифференцирования сложной

функции, получим:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

Но F′(x) = f (x) = f (φ (t)), поэтому

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Таким образом, функция F(φ (t)) является первообразной для функции

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), поэтому:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Учитывая, что F (φ (t)﴿ = F (x), из (1) и (4) следует формула замены

переменной в неопределённом интеграле :

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Формально формула (5) получается заменой х на φ (t) и dх на φ′ (t)dt

В полученном после интегрирования по формуле (5) результате следует

перейти снова к переменной х. Это всегда возможно, так как по предпо-

ложению функция х = φ (t) монотонна.

Удачный выбор подстановки обычно представляет известные труд-

ности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифферен-

цирования и хорошо знать табличные интегралы.

Но все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов

интегрирования.