31. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.

Теорема.

Пусть функции и определены соответственно на промежутках и , причем . Если функция имеет на первообразную и, следовательно,

(1)

а функция дифференцируема на , то функция имеет на , первообразную и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку , вычислить интеграл и затем вернуться к переменной , положив .

 Теорема 1. Пусть f(z) - непрерывная функция, заданная на промежутке [p, q], а φ(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], имеющая там непрерывную же производную φ'(x) и удовлетворяющая неравенству p ≤ φ(x) ≤ q.

     В таком случае

     (22)

     Формула (22) выражает собой правило замены переменной в определенном интеграле. Оно напоминает правило замены переменной в интеграле неопределенном, но отличается от него тем, что здесь отпадает надобность в возвращении к старой переменной, т. к. формула (22) представляет собой равенство двух постоянных чисел. Заметим еще, что эта формула заменяет собой для случая определенных интегралов оба вида правила подстановки в интегралах неопределенных; только, применяя ее на практике, иной раз приходится читать ее слева направо, а иногда - справа налево.

32. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

Неопределенный интеграл

Рассмотрим дифференцируемые функции переменной

U=U(x) и V=V(x)

Т.к. d(uv) = (uv)’dx=u’vdx+uv’dx= du*v+u*dv, то проинтегрируем по переменной х это равенство и учтем, что интеграл суммы функции – это сумма интегралов

⌠d(uv)= ⌠vdu+⌠udv

uv=⌠vdu+⌠udv

Метод интегрирования по частям применяется, когда нельзя вычесть интеграл методом замены переменной.

Пример.

⌠lnx*x⁸dx = {u=lnx;dv= x⁸dx; du = 1/8dx; v= ⌠ x⁸dx= x⁹/9}=lnx* x⁹/9-⌠ x⁹/9-1/xdv=lnx* x⁹/9-1/9⌠ x⁸dx=lnx* x⁹/9-1/9* x⁹/9+C

Определенный интеграл.

^b⌠udv=(uv-⌠vdu)^b│

^{a a}

u=u(x), v=v(x)

^b⌠udv=uv^b│-⌠ ^b vdu

^{a a a}

33. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.

Опр. Пусть предел интегральной суммы при стремлении max дельта х_i к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [a,b], обозначается ^b∫_a f(x) dx, а сама фун-я y=f(x) наз-ся интегрируемой на отрезке [a,b].

Сво-ва опр.интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух фун-ий равен такой же сумме интегралов от этих фун-ий.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей.

4. Обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5. Теорема о среднем. Если фун-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], (где a<b), то найдется такое значение ξ принадлежащей отрезку [a,b], что ^b∫_a f(x) dx = f(ξ)(b-a).