1. Общие положения

1.1. Сфера применения

Настоящие методические указания устанавливают требования к выполнению расчетно-графического задания по изучению курсов «Теоретические основы электротехники», «Теория электрических и магнитных цепей».

Содержание расчетно-графического задания соответствует программе подготовки специалистов электротехнических специальностей.

1.2. Цель выполнения

В результате выполнения данного задания студент должен:

1) знать:

а) основные законы и методы расчета трехфазных электрических цепей гармонического тока;

б) основные законы и методы расчета магнитных цепей постоянного и гармонического магнитного потока;

2) уметь:

а) применять законы и методы расчета трехфазных электрических цепей для решения конкретных задач;

б) применять законы и методы расчета магнитных цепей для решения конкретных задач.

1.3. Порядок выполнения

Расчетно-графическое задание выполняется по мере изучения теоретического материала по данным темам.

Рекомендуется вначале выполнить расчет трехфазной электрической цепи (1-я часть РГР), а затем расчет магнитной цепи (2-я часть РГР).

1.4. Требования к выполнению задания

1. При оформлении расчетно-графического задания каждый раздел должен содержать:

1) задание;

2) теоретическое обоснование применяемого метода;

3) расчетную часть, графики и диаграммы;

4) выводы (оценка полученных результатов, сравнение используемых методов).

5

2. Задание выполняется на листах писчей бумаги формата А4; (297х210) мм по ГОСТ 9327. При необходимости допускается использовать формат А3 (297х420) мм.

На листах должны быть оставлены поля: левое, нижнее и верхнее – не менее 20 мм, правое – не менее 10 мм.

3. Листы работы нумеруют арабскими цифрами, проставляя их в правом верхнем углу листа без каких-либо знаков. Нумерация должна быть сквозной по всей работе. На титульном листе номер не ставят, но он включается в общую нумерацию страниц. Форма титульного листа приведена в приложении Е.

4. Текст работы располагают на одной стороне листа одним из способов:

а) рукописным – четким, разборчивым почерком или чертежным шрифтом по ГОСТ 2.304 с высотой букв и цифр не менее 2,5 мм.

Плотность записи должна быть одинаковой;

б) машинным (при помощи компьютерной техники) – кегль 12–14 через полтора интервала.

5. Работа должна быть сброшюрована.

2. Трехфазные электрические цепи

2.1. Основные теоретические положения

Многофазная электрическая цепь – это совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником энергии.

Отдельные электрические цепи, входящие в состав многофазной электрической цепи, называются фазами. Число фаз обозначают буквой m.

Совокупность ЭДС (напряжений или токов), действующих в многофазной цепи, называется многофазной системой ЭДС (напряжений или токов):

6

12. Линейный ток холостого хода

а) при соединении первичной обмотки звездой

;

б) при соединении первичной обмотки треугольником

.

13. Задаваясь значениями напряжения (0,5; 0,8; 1,2) , рассчитать соответствующий ток холостого хода по п.п. (1÷11) и построить зависимость тока холостого хода от напряжения . Данные расчета оформить в виде таблицы:

, В	0	0,5	0,8	Uф	1,2
, A

14. Для построения векторной диаграммы определить угол потерь α:

.

15. Строим векторную диаграмму режима холостого хода усредненной фазы, пренебрегая потерями в обмотке и потоком рассеяния (соответствует векторной диаграмме идеализированного однофазного трансформатора в режиме холостого хода, рисунок 3.5, б).

16. Коэффициент потребляемой мощности в режиме холостого хода

,

или иначе: .

91

5. Магнитодвижущая сила усредненной фазы (амплитудное значение)

^.

6. Действующее значение реактивной (намагничивающей) составляющей тока холостого хода

,

где – коэффициент, учитывающий наличие высших гармоник в кривой намагничивающего тока (таблица 3.2).

7. Вес трех стержней магнитопровода трансформатора

,

где – удельный вес стали.

8. Вес двух ярем магнитопровода

.

9. Потери в стали

,

где [Вт/кг] – удельные потери трансформаторной стали 3412. определяемые из таблицы D.2 (для Гц) в зависимости от индукции в стержне и ярме .

10. Активная составляющая тока холостого хода (действующее значение)

, где – потери холостого хода.

11. Фазный ток холостого хода

.

90

Многофазную систему ЭДС (напряжений или токов), в которой ЭДС (напряжения или токи) в отдельных фазах равны по амплитуде и отстают относительно друг друга по фазе на равные углы 2 / m, называют симметричной:

.

При невыполнении хотя бы одного из этих условий система называется несимметричной.

Симметричные системы имеют следующие свойства:

1) сумма мгновенных значений (а, следовательно, и комплексов) в симметричной системе ЭДС (напряжений или токов) в любой момент времени равна нулю;

2) мгновенная мощность симметричной системы напряжений и токов не зависит от времени и является величиной постоянной.

Для симметричной трехфазной системы ЭДС (напряжений или токов) и угол сдвига фаз между величинами, входящими в указанную систему, в общем случае равен q (2 / 3).

При получаем симметричную трехфазную систему ЭДС (напряжений или токов), сдвинутых друг относительно друга по фазе на угол (рис. 2.1, а). В этом случае фазы следуют во времени в порядке А–В–С, который называют прямым порядком чередования фаз, а трехфазную систему – симметричной системой прямой последовательности.

Рисунок 2.1

7

При q = 2 образуется симметричная трехфазная система величин с углом сдвига фаз между ними ; фазы следуют в порядке А–С–В, который называют обратным порядком чередования фаз, а систему – системой обратной последовательности (рис. 2.1, б).

Если q = 0, то получим симметричную систему нулевой последовательности (рис. 2.1 б, в), в которой напряжения всех фаз совпадают по фазе.

В дальнейшем будем рассматривать симметричные системы только прямой последовательности. Фазные ЭДС, напряжения и токи могут быть записаны в виде мгновенных значений или в комплексной форме.

Мгновенные значения ЭДС:

.

Комплексы действующих значений:

.

Величина

называется оператором поворота, так как умножение на а приводит к повороту вектора на угол против часовой стрелки.

Заметим, что

8

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Порядок расчета магнитной цепи усредненной фазы (в общем виде)

Считаем заданными: линейное напряжение и частота трехфазного источника , размеры магнитопровода, число витков первичной обмотки w₁.

1. Фазное напряжение и магнитный поток в магнитной цепи усредненной фазы. По данному линейному напряжению определим фазное напряжение:

.

Исходя из формулы ЭДС фазы

,

определяем амплитудное значение магнитного потока в магнитной цепи фазы

.

2. Размеры поперечного сечения ярма, стержня и воздушного зазора магнитной цепи (рисунок 3.9)

;

;

.

Коэффициент заполнения стали принимаем равным .

3. Индукция магнитного поля в стержне, ярме и воздушном зазоре магнитной цепи

.

4. По кривой намагничивании трансформаторной холоднокатаной стали 3412 (таблица Г.1) определяем напряженность магнитного поля в стержне и ярме магнитопровода (амплитудное значение).

89

.

В результате получим вторую точку (N) линии возврата

.

Проводим линию возврата AN, пересечение с прямой ОР дает рабочую точку L ( Тл). Тогда из равенства находим

.

В заключение проследим ход процесса. После снятия намагничивающей обмотки процесс идет от точки B_r по кривой размагничивания до точки А. Затем вставили сердечник, зазор уменьшился до см. При этом процесс идет по линии возврата AL. Точка L – рабочая точка стабилизированного магнита. Ему не страшны размагничивающие помехи, не выводящие рабочую точку левее точки А (после исчезновения помехи рабочая точка возвращается в положение L).

88

Используя оператор поворота, можно записать

Напряжения на зажимах отдельных фаз генератора или приемника называют фазными напряжениями, напряжения между проводами линии – линейными напряжениями. Токи в фазах генератора или приемника называют фазными токами, токи в проводах линии – линейными токами.

На рис. 2.2. изображена трехфазная цепь, в которой и генератор, и приемник соединены звездой.

Рисунок 2.2

В этом случае E_A, E_B, E_C – фазовые ЭДС генератора; U_AO, U_BO, U_CO – фазные напряжения генератора; U_аO’, U_вO’, U_сO’ – фазные напряжения нагрузки; U_AB, U_BC, U_CA – линейные напряжения генератора (или линейные напряжения в начале линии); U_ab, U_bc, U_ca – линейные напряжения на нагрузке (или в конце линии).

Токи I_A, I_B, I_C называются линейными; I_a, I_b, I_c – фазными токами нагрузки; I_N – ток в нейтральном проводе.

Напряжения U_Aa, U_Bb, U_Cc называют падениями напряжения в линейных проводах, а между нейтральными точками нагрузки и генератора U_O’O – напряжением смещения нейтрали.

Чтобы не затенять чертеж, эта группа напряжений на рисунке 2.2 не показана.

На рисунке 2.3 генератор и приемник соединены треугольником.

9

Рисунок 2.3

Здесь E_AB, E_BC, E_CA – фазные ЭДС генератора; U_AB, U_BC, U_CA – фазные напряжения генератора (или линейные напряжения в начале линии); U_ab, U_bc, U_ca – фазные напряжения на нагрузке (или линейные напряжения в конце линии).

Токи I_A, I_B, I_C называются линейными; I_ab, I_bc, I_ca – фазными токами нагрузки.

Все токи и напряжения на рисунке 2.2.и 2.3 направлены в соответствии с общепринятыми условными положительными направлениями величин в трехфазных цепях, и этих направлений нужно придерживаться при решении задач.

Следует обратить внимание на следующие соотношения между линейными и фазными величинами.

При соединении звездой (см. рисунок 2.2):

и т.д.

В случае симметричной системы напряжений

.

При соединении треугольником (см. рисунок 2.3):

и т.д.

В случае симметричной системы токов

.

10

Пример 4. В предыдущей задаче определить индукцию в воздушном зазоре, если намагничивание до насыщения производилось при вынутом цилиндрическом сердечнике, после чего вернули сердечник на место. Расчетную длину воздушного зазора при вынутом сердечнике принять см, а кривую возврата считать с наклоном К=12,5∙10^–4 Тл/(А/см).

Решение. Используем второй закон Кирхгофа для цепи без сердечника ( см).

,

отсюда

.

Задаемся Тл, находим А/см. Через полученную точку строим прямую из начала координат (рисунок В.5). Пересечение с кривой размагничивания дает А/см; Тл (точка А). Когда сердечник вставили, зазор уменьшился до см, его размагничивающее действие уменьшилось. Такому зазору соответствует прямая

.

Рисунок В.5

Построим ее, например, по точке В_м = 1 Тл; Н_м = –159 А/см (прямая ОР на рисунке В.5, она же в предыдущей задаче). При этом процесс идет из точки А по линии возврата с наклоном . Тогда, взяв ΔН = 150 А/см (или любое другое), получим

87

Таблица В.1

В, Тл	0	0,28	0,54	0,7	0,9
Н, А/см	–190	–160	–120	–80	0

а б

Рисунок В.4

Размеры заданы: ℓ_м = 24 см; S_м = 3 см²; ℓ_b = 2δ = 1,2 см; S_b = 7,5 см².

Решение. Закон полного тока для нашей цепи имеет вид:

.

Падением магнитного напряжения в сердечнике и наконечниках пренебрегаем. Тогда

.

Здесь мы используем равенство , поскольку потоком рассеяния пренебрегаем. По этому уравнению строим прямую, например по точке В_м =1 Тл; Н_м = –159 А/см.

Вторая зависимость дается кривой размагничивания В_м = f (Н_м). На графике в точке пересечения находим В_м = 0,63 Тл. Так как поток в магнитной цепи везде одинаков Φ_м = Φ_в = Φ, то индукция в воздушном зазоре

.

Размагничивающая напряженность Н_Р вызвана действием воздушного зазора.

86

2.1.1. Расчет трехфазной электрической цепи, соединенной звездой

Трехфазная цепь представляет собой частный случай сложной электрической цепи, и к ней могут быть применены все методы расчета сложных электрических цепей. Для соединения звездой удобнее пользоваться методом узловых потенциалов (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4

По методу узловых потенциалов определяем напряжение смещения нейтрали (напряжение между узлами):

,

где .

Так как внутренние сопротивления фаз генератора обычно малы по сравнению с сопротивлением нагрузки, то ими пренебрегают и считают фазные напряжения генератора равные фазным ЭДС:

.

Если есть необходимость учесть внутреннее сопротивление фаз генератора, то они могут в вышеприведенных формулах входить в состав . Однако в большинстве случаев смещение нейтрали записывают через фазные напряжения генератора:

11

. (2.1)

При отсутствии нейтрального провода .

Зная смещение нейтрали, определяют фазные напряжения U_AO’, U_BO’, U_CO’, токи I_A, I_B, I_C, I_N и напряжения фаз нагрузки U_aO’, U_bO’, U_cO’.

     (2.2)

По результатам расчета строят векторную топографическую диаграмму трехфазной цепи.

При заданных линейных напряжениях генератора и отсутствии нейтрального провода (например, в случае соединения обмоток генератора треугольником) фазные напряжения определяют по формулам

 (2.3)

Приведенная выше методика расчета применима для симметричных и несимметричных трехфазных цепей. В симметричной трехфазной цепи (система ЭДС генератора симметрична и сопротивления фаз одинаковы ) расчет упрощается. Здесь

Фазные напряжения генератора в этом случае записывают через оператор поворота

.

Так как и , то смещение нейтрали отсутствует (U_О´О = 0) и ток в нейтральном проводе равен нулю Токи и напряжения в фазах будут одинаковы по величине и сдвинуты по фазе на , а, следовательно, расчет можно вести для одной фазы.

12

Решение. Из формулы имеем . Учитывая, что B_c=B_δ (так как S_c=S_δ), находим зависимость:

.

Полагая В_с = 0,2 Тл, находим Н_с = –0,2∙11∙10⁴ = –22кА/м.

Через эту точку проводим прямую из начала координат. Пересечение с кривой размагничивания дает точку А (В_А = 0,45 Тл, Н_А = –50 кА/м). Магнитомягкая вставка направляет процесс по прямой возврата с углом наклона . Отсюда .

Тогда в новой рабочей точке

.

Из второго закона Кирхгофа (падение магнитного напряжения пренебрегаем, так как оно очень мало), находим величину зазора:

.

Отметим, что новая рабочая точка не боится размагничивающих помех, не выводящих процесс левее точки А, то есть, магнит оказывается стабилизированным. Если же поле помех выведет рабочую точку левее точки А, то далее она пойдет по кривой размагничивания (например до точки К) и при снятии действия помехи уже не вернется в новую рабочую точку, а пойдет из точки К по новой линии возврата.

Пример 3. Определить магнитную индукцию в воздушном зазоре магнитной системы гальванометра в случае, если эта система намагничена до насыщения в собранном виде. Магнитным рассеянием, а также магнитным сопротивлением сердечника и наконечников пренебречь (так как они из магнитомягкой стали). Кривая размагничивания кобальтовой стали (материал магнита) задана (рисунок В.4, таблица В.1).

85

По данным расчета строим зависимость (рисунок В.2, б) (или ). Пересечение кривых дает Φ_δ. Тогда . Знак минус в правой части уравнения (В.1) мы учли тем, что построили кривую в координатах Φ и –Нℓ = –U_мaв.

а б

Рисунок В.2

Пример 2. Постоянный магнит (рисунок В.3 а) имеет зазор δ = 2,75 см, (ℓ_ср – δ) = 20 см. Для увеличения магнитной индукции в зазоре часть его заполнили магнитомягким материалом. Определить длину оставшегося воздушного зазора δ₁, если значение индукции увеличилось на 0,05 Тл. Коэффициент возврата материала магнита Гн/м. Кривая размагничивания задана графически. Потоком рассеяния пренебречь и считать S_c=S_δ.

а

б

Рисунок В.3

84

2.1.2. Расчет трехфазной электрической цепи, соединенной треугольником

Нагрузка, соединенная треугольником (рисунок 2.5), может питаться от генератора с соединением обмоток, как звездой, так и треугольником. В связи с этим различают случаи расчета трехфазной цепи при заданных фазных напряжениях генератора U_AO, U_BO, U_CO, и при заданных линейных напряжениях генератора U_AB, U_BC, U_CA.

Рисунок 2.5

Рассмотрим первый случай. Нагрузку, соединенную треугольником, преобразуют в эквивалентную звезду:

Получают схему, изображенную на рисунке 2.6.

Смещение нейтрали определяют по формуле (2.1), где

Рисунок 2.6

13

Затем по формулам (2.2) определяют фазные напряжения U_AO’, U_BO’, U_CO’; линейные токи I_A, I_B, I_C и напряжения на нагрузке (эквивалентная звезда) U_aO’, U_bO’, U_cO’. Фазные напряжения на нагрузке, соединенной треугольником, определяют по формулам:

Токи в фазах нагрузки:

(2.4)

Для симметричной трехфазной цепи смещение нейтрали , фазные напряжения равны фазным напряжениям генератора и расчет упрощается.

При заданных линейных напряжениях генератора напряжения определяют по формулам (2.3), а дальнейший расчет совпадает с вышеизложенным.

Если сопротивлением линии пренебречь , то линейные напряжения генератора будут приложены непосредственно к фазам нагрузки, соединенной треугольником , а токи в фазах треугольника нагрузки определяют по формулам (2.4).

2.1.3. Вычисление мощностей в трехфазных цепях

В общем случае мощность трехфазной электрической цепи равна сумме мощностей отдельных фаз.

Для симметричной трехфазной цепи:

а) активная мощность

или ,

где – фазные величины;

– линейные величины

φ – угол сдвига фаз между фазным напряжением и током;

14

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Примеры расчета магнитных цепей с постоянными магнитами

Пример 1. Заданы размеры S₁ S₂ ℓ₁ ℓ_ср δ (рисунок В.1), кривая намагничивания магнитомягкой стали, кривая размагничивания постоянного магнита. Определить индукцию в воздушном зазоре.

Рисунок В.1

Решение. Участок из магнитомягкого материала длиной ℓ₂ = ℓ_ср – ℓ₁ – δ имеет поперечное сечение S₂. Пренебрегая потоком рассеяния, можем утверждать, что на всех участках поток равен потоку в зазоре Φ_δ. По второму закону Кирхгофа для магнитной цепи имеем

,

или . (В.1)

Строим зависимость левой и правой частей от потока и в точке пересечения находим решение. Если в заданной кривой размагничивания магнита изменить масштаб в соответствии с формулами , то получим зависимость , которая и есть зависимость от Φ левой части равенства (В.1). Задаваясь несколькими значениями Φ_δ, определяем индукцию , а затем находим Н₂ (по кривой намагничивания) и

83

В точке пересечения кривых и соблюдается первый закон Кирхгофа и определяется величина магнитного потока . На пересечении вертикали, опущенной из этой точки, с кривыми и определяют соответственно магнитные потоки и (рисунок Б.9).

Рисунок Б.9

82

б) реактивная мощность:

в) полная мощность:

.

Мощность любой трехфазной цепи может быть измерена тремя ваттметрами, включенными на фазные напряжения и токи каждой из трех фаз. Так, для соединения нагрузки звездой с нейтральным проводом (рисунок 2.7)

.

Эта формула может быть записана и в комплексной форме

.

Если цепь симметрична, то мощность трехфазной цепи равна утроенному значению мощности одной фазы, и для ее измерения достаточно одного ваттметра.

При отсутствии нейтрального провода мощность трехфазной цепи может быть измерена двумя ваттметрами, включенными согласно схеме (рисунок. 2.8)

.

Рисунок 2.7 Рисунок 2.8

15

При симметричной нагрузке можно доказать, что

;

,

где φ – угол между фазными током и напряжением.

Баланс активной и реактивной мощности в цепи определяют по формулам

,

.