- •1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
- •Виды матриц:
- •Операции над матрицами
- •Свойства операций сложения и умножения матриц
- •Возведение в степень.
- •Транспонирование матриц.
- •Свойства операции транспонирования.
- •2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца. Определители и их свойства
- •Свойства определителей
- •3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления. Обратная матрица
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •Запишем систему в матричной форме:
- •Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера
- •5. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
- •Пример. Методом Гаусса решить систему:
- •Метод обратной матрицы.
- •7. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
- •Решение системы линейных уравнений с неизвестными
- •8. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры. Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Основные свойства функций
- •9. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая). Элементарная функция
- •Основные элементарные функции
- •10. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести). Уравнение линии на плоскости
- •Взаимное расположение двух линий
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении
- •Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
- •Общее уравнение прямой и его исследование
- •Точка пересечения прямых
- •11. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой и его исследование
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
- •12. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции). Предел числовой последовательности
- •Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •13. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать). Предел функции в точке
- •Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •Бесконечно большие величины
- •Свойства бесконечно больших величин
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
- •15. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах. Второй замечательный предел.
- •16. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры. Непрерывность функции
- •Свойства функций, непрерывных в точке
- •1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
- •2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
- •Точки разрыва функции
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •17. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. Определение производной
- •Задача о касательной
- •18. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему). Понятие дифференцируемости функции
- •Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью
- •19. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •20. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций (таблица производных)
- •Производная сложной функции
- •21. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
- •22. Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать). Признаки возрастания и убывания функции.
- •23. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).
- •24. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).
- •25. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.
- •26. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
- •27. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия. Основные понятия. Частные производные
- •Частные производные функции двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •30. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать). Понятие первообразной и неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •31. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
- •32. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
- •Методы вычисления определенного интеграла
- •33. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Экономический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла
- •34. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •35. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства). Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •36. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
Методы вычисления определенного интеграла
Теорема. Пусть функции , имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда
,
где .
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример. Вычислить .
Решение. Пусть , . Тогда (пусть ).
Можно вывести формулу: , интегрируем почленно это равенство
33. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
Пусть на отрезке задана функция (рис. 10.1).
|
Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками , где . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции на отрезке . |
Обозначим через максимальную из длин отрезков , т.е. .
Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при , т.е.
. (10.1)
- нижний предел, - верхний предел, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.
Замечание 1. Переменную под знаком интеграла можно обозначать любой буквой: и т. д.
Замечание 2. В отличие от неопределенного интеграла , который представляет семейство функций (первообразных), определенный интеграл есть определенное число.
Геометрический смысл определенного интеграла.
П усть на отрезке задана неотрицательная функция . Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс (рис.10.2) численно равна определенному интегралу от функции на .
Экономический смысл определенного интеграла.
Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем продукции , произведенной за промежуток времени , равен .
Теорема (достаточное условие существования определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .
Интеграл от алгебраической суммы 2х функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: .
При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный: .
4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей: .
5) Если на отрезке , где , , то и , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
6) Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение , что .
Т.о. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка из отрезка , что площадь под кривой равна площади прямоугольника со сторонами и .
34. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Пусть - непрерывная на отрезке функция, а - ее первообразная. Рассмотрим определенный интеграл
, (10.2)
где . При изменении меняется и определенный интеграл (10.2), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования , которую обозначим через :
, (10.3)
Определение. Функция называется интегралом с переменным верхним пределом (с открытым верхним пределом).
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то функция так же непрерывна на .
Теорема 2 (о производной интеграла по верхнему пределу). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции на верхнем пределе, т.е.
.