56. Свойства функций, непрерывных в точке, и функций, непрерывных на отрезке.

Точки: 1)Если функции f(x), φ(x), непрерывны в точке , то их сумма произведения и частное, при условии φ( ) 0 также является непрерывными функциями.

2)Если функция f(x) непрерывна в точке >0, то существует такая определенность , в которой f(x)>0

3)Если функция f(u) непрерывна в точке , а функция u=φ(x) непрерывная в точке , то сложная функция f(u(x))

О трезок:

1)Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

2)Если функция непрерывна, на отрезке, то она достигает наименьшего и наибольшего значения.

3)Если функция непрерывна на отрезка, а на концах отрезка значения функция противоположны по знаку, то внутри отрезка найдется такая точка, в которой функция равна нулю.

57.Приращения аргумента и функции. Производная. Схема вычисления производной.

△x=x- – приращение аргумента

△y=y- – приращение функции

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Функция, имеющая производную в точке называется дифференцируемой в этой точке. Операция вычисления производной называется дифференцированием функции.

Схема вычисления производной.

1)△y( )=y( )-y( )

58.Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абциссой

y- – уравнение касательной.

59. Механический смысл производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=f(t), предположим, что к моменту точка прошла путь , а к моменту времени t путь s, тогда за промежуток времени △t=t- материальная точка прошла путь △s=s- .

V( )= Мех.смысл.пр-й: скорость прямолинейного движения материальной точки в данный момент времени есть производная от пути по времен, вычисленная в данный момент времени.