2. Строят винтовые линии заданного шага и направления, по которым перемещаются заданные точки.

Рисунок 104. Винтовая поверхность Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности каталана) Поверхность с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n (рис. 105). Рисунок 105. Цилиндроид В зависимости от формы направляющих образуются три частных вида поверхностей. Цилиндроид. Цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым линиям, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма (рис.105). Коноид. Коноидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим, одна из которых кривая линия, а другая прямая, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма (рис.106). Рисунок 106. Коноид Рисунок 107. Гиперболический параболоид Гиперболический параболоид. Гиперболическим параболоидом или косой плоскостью называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым (рис.107). поверхности параллельного переноса Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением образующей - плоской кривой линии m по криволинейной направляющей n (рис.108). Рисунок 108. Поверхность параллельного переноса Геометрическая часть определителя состоит из двух кривых линий образующей - m и направляющей – n. Алгоритмическая часть определителя содержит перечень операций: на направляющей п выбираем ряд точек А,  В, С,… строим векторы АВ , ВС,… осуществляем параллельный перенос линии m  по векторам АВ, ВС , … Наглядным примером плоскости параллельного переноса может служить скользящая опалубка, применяемая в строительстве. Взаимное расположение линии и поверхности Наиболее интересны два варианта взаимного расположения линии и поверхности: Линия принадлежит поверхности - все точки линии принадлежат поверхности. Линия пересекает поверхность - линия и поверхность имеют одну или несколько общих точек. Определение взаимного положения линии и поверхности - позиционная задача, для  решения которой применяется метод вспомогательных секущих поверхностей посредников. При оценке взаимного расположения прямой линии и поверхности в качестве вспомогательных секущих поверхностей посредников используется плоскость - метод вспомогательных секущих плоскостей. Распространенными позиционными задачами в этой теме начертательной геометрии являются следующие: Определение точек пересечения прямой линии и поверхности. Построение прямой касательной поверхности. Построение прямой перпендикулярной поверхности. Принадлежность линии поверхности Линия принадлежит поверхности, если все её точки принадлежат этой поверхности. В этой теме методами начертательной геометрии решаются следующие позиционные задачи: Построение линии, принадлежащей поверхности. Определение принадлежности линии поверхности. Рассмотрим алгоритм решения задачи на построение линии принадлежащей поверхности, если одна из проекций линии задана (рис.109). Дано: Поверхность Ф , заданная проекциями каркаса состоящих из образующих линий l и направляющей n. Фронтальная проекция линии m, принадлежащей поверхности Ф. а) модель б) эпюр Рисунок 109. Линия на поверхности Алгоритм решения задачи: Находим точки 12, 22, 32, 42 пересечения проекции линии m2 с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l 12, l 22, l 32, l 42 . По линиям связи находим проекции точек 11, 21, 31, 41, как точки лежащие на  проекциях образующих каркаса соответственно l 11, l 21, l 31, l 41 и определяющих положение проекции линии m1 на поверхности Ф. Пересечение линии с поверхностью Линия пересекает поверхность, если имеет с ней одну или несколько общих точек. Для графического определения точек пересечения линии с поверхностью (рис.110) необходимо выполнить ряд геометрических построений, описываемых следующим алгоритмом: 1. заключаем линию l в некоторую вспомогательную поверхность Δ; 2. строим линию m пересечения данной поверхности Ф и вспомогательной поверхности Δ; 3. определяем искомую точку К пересечения линии l  и m (точка может быть не единственная). В качестве вспомогательной поверхности целесообразно использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, направляющей которой должна служить заданная линия, а –прямолинейными образующими – проецирующие прямые. Рисунок 110. Линия пересекает поверхность

При оценке взаимного расположения прямой линии и поверхности в качестве вспомогательных секущих поверхностей-посредников используется плоскость - метод вспомогательных секущих плоскостей.

Задача: Определить точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса вращения и определить видимость прямой по отношению к конусу.

Для выбора вспомогательной секущей плоскости требуется знание линий образующихся в конических сечениях. Если в качестве вспомогательной секущей плоскости можно выбрать горизонтально проецирующую или фронтально проецирующую плоскости, то в сечении получатся соответственно гипербола (рис.111а) или эллипс (рис.111б). Построение кривых линий значительно усложняет задачу.

а) горизонтально проецирующая плоскость		б) фронтально проецирующая плоскость
Рисунок 111. Пересечение прямой линии с конусом (вспомогательная секущая плоскость - проецирующая)

Поэтому в качестве вспомогательной секущей плоскости целесообразно выбрать такую плоскость, которая бы включала прямую l  и пересекала конус по образующим (рис.112). Очевидно, что такая плоскость определяется прямой l  и точкой S - вершиной конуса. Пусть основание конуса лежит в горизонтальной плоскости проекций, тогда линия пересечения вспомогательной секущей плоскости и горизонтальной плоскости проекций ВС пересекает основание конуса в точках D и F. Таким образом в сечении конуса вспомогательной секущей плоскостью получится треугольник DFS. Так как полученный треугольник и прямая l  лежат в одной плоскости, точки их пересечения К и М и есть точки пересечения прямой с конусом.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 112. Пересечение прямой линии с конусом (вспомогательная секущая плоскость-плоскость общего положения)
Принадлежность точки поверхности

Точка может принадлежать поверхности или нет.

В этой теме решаются следующие позиционные задачи:

1. Построение точки, принадлежащей поверхности.

2. Определение принадлежности точки поверхности.

Рассмотрим алгоритм решения задачи на построение точки принадлежащей поверхности, если одна из проекций точки задана (рис.113).

Дано:

1. Поверхность Ф , заданная проекциями каркаса состоящего из образующих l   и направляющих n.

2. Проекция точки К₁, принадлежащей поверхности Ф.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 113. Точка на поверхности

Алгоритм решения задачи:

1. Через заданную проекцию точки К₁ проводим одноименную проекцию произвольной вспомогательной линии, принадлежащей поверхности m₁.

2. Находим точки  1₁, 2₁, 3₁, 4₁, пересечения проекции линии m₁ с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий  l ¹₁, l ²₁, l ³₁, l ⁴₁.

3. По линиям связи находим проекции точек 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ как точки, лежащие на  проекциях образующих каркаса соответственно l ¹₂, l ²₂, l ³₂, l ⁴₂ и определяющих положение проекции линии m₂ на поверхности Ф.

4. По линии связи находим положение проекции точки К₂, как точку, принадлежащую вспомогательной линии m₂.

Взаимное расположение Плоскости и поверхности

Рассмотрим два варианта взаимного расположения плоскости и поверхности:

1. Плоскость пересекает поверхность.

2. Плоскость касательная поверхности.

Определение взаимного положения плоскости и поверхности - позиционная задача, для  решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. В качестве вспомогательных секущих плоскостей используются проецирующиеся плоскости - плоскости перпендикулярные плоскостям проекций, поэтому  основу метода вспомогательных секущих плоскостей составляет алгоритм решения задачи по нахождению линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью.

Особое место занимают задачи по нахождению линии пересечения плоскости с конической поверхностью. В зависимости от положения секущей плоскости линией пересечения может быть окружность, эллипс, парабола, гипербола получивших название - линии конических сечений.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая.

Пересечение поверхности проецирующей плоскостью.

Рассмотрим решение задачи по определению линии пересечения сферы фронтально проецирующей плоскостью α (рис.114).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 114. Пересечение сферы фронтально  проецирующей плоскостью

Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскости П₁ и П₃ в виде эллипса, а на плоскость П₂ в прямую линию ограниченную очерком сферы.

Охарактеризуем выбранные для построения точки:

• 1, 8- две вершины эллипса, определяющие положение малой оси на горизонтальной и профильной проекциях, их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы. Эти точки являются соответственно высшей и низшей точками сечения.

• 2, 3- фронтальные проекции этих точек лежит на вертикальной оси сферы, а профильные проекции будут лежать на очерке сферы и определять зону видимости при построении эллипса на П₃.

• 4, 5- две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса на горизонтальной и профильной проекциях, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α.

• 6, 7- фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П₁.

Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α, на ней отмечаем точки 1₂…8₂. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β- горизонтальные плоскости уровня) . Например, через точки 2₂, 3₂ проведем след плоскости β¹₂ , на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β¹ и сферы будет окружность m¹₁ , а точки 2₁ и 3₁ лежат на этой окружности по линии связи ( в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 1₁ и 8₁ , которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П₁. Построенные точки 1₁…8₁ соединим плавной кривой линией с учетом видимости.

Пересечение поверхности  плоскостью общего положения.

Построение линии пересечения плоскости общего положения и поверхности возможно двумя способами:

1. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость стала занимать проецирующее положение и тогда дальнейшее решение задачи соответствует рассмотренному выше.

2. Для нахождения точек, одновременно принадлежащих плоскости общего положения и поверхности, использовать метод вспомогательных секущих плоскостей.

Рассмотрим на примерах решения задач оба способа:

Задача 1. Построить линию пересечения сферы плоскостью общего положения, заданнoй двумя пересекающимися прямыми α(h∩ f).

Алгоритм решения задачи:

1. Произведем замену плоскостей проекций таким образом, чтобы плоскость α стала проецирующей, т.е. переведем плоскость общего положения в частное.  h – горизонталь, f- фронталь, чтобы перевести плоскость α в положение проецирующей плоскости необходимо выбрать новую плоскость проекций, либо перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h₁, либо перпендикулярно фронтальной проекции фронтали – f₂ (рис.115).

2. Дальнейшее решение аналогично предыдущей задаче.

Рисунок 115. Пересечение сферы плоскостью общего положения

Задача 2. Построить линию пересечения поверхности вращения и плоскости общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми α(h∩ f) (рис.116).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 116. Пересечение параболоида вращения плоскостью общего положения

Линия пересечения поверхности Ф плоскостью α(h∩ f) и проекции её на плоскость, перпендикулярную оси, являются кривыми, имеющими ось симметрии. Для доказательства этого утверждения проведем вспомогательную плоскость β, перпендикулярную оси. Вспомогательная плоскость пересечет заданную поверхность по параллели p, фронтальная проекция которой p₂, совпадает со следом плоскости β₂, а горизонтальная проекция p₁ - является окружностью. Линией пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью α(h∩ f) является горизонталь h¹.

Параллель p и горизонталь h¹, находясь в одной плоскости β, пересекаются в точках 1 и 2, которые принадлежат искомой линии. Полученные точки симметричны друг другу относительно плоскости σ, перпендикулярной хорде 1-2 и проходящей через ее середину. Заметим, что плоскость σ, являясь множеством точек, равноудаленных от концов хорды 1 - 2, пройдет через ось поверхности вращения, все точки которой также равноудалены от точек 1 и 2.

Очевидно, что для любой другой пары точек, расположенных на концах хорд других окружностей (но параллельных хорде 1-2), плоскость σ будет также являться плоскостью симметрии. Следовательно, линия пересечения поверхности вращения с плоскостью α представляет собой  симметричную кривую, осью симметрии которой служит линия пересечения плоскостей α и σ – прямая, пересекающая поверхность в точках 3 и 4 (линия ската плоскости α, проходящая через ось поверхности вращения).

Таким образом, используя вспомогательные горизонтальные секущие плоскости можно получить необходимое множество точек  для построения линии пересечения плоскости α и поверхности Ф, которой является эллипс. Поэтому для более точного построения необходимо учитывать точки, определяющие положение осей эллипса (3, 4, 5 и 6)

Однако, если не учитывать характерные точки, определяющие границу зоны видимости линии пересечения и высшую и низшую точки этой линии, построение будет неточным.

Точки, определяющие зону видимости - 7 и 8, расположены на главном меридиане поверхности. Для построения их, через главный меридиан проведем вспомогательную секущую плоскость γ, параллельную фронтальной плоскости проекций. Плоскость γ пересекает плоскость α по фронтали  f¹, которая, в свою очередь, находясь в одной плоскости с главным меридианом, пересекается с ним в искомых точках 7 и 8.

Высшая и низшая точки сечения - 3 и 4 находятся на линии наибольшего ската плоскости α, проходящей через ось поверхности Ф, т.е. на прямой s. Эту прямую и меридиан поверхности, плоскость которого совпадает с прямой s, повернем вокруг оси до положения s¹, в котором прямая s и плоскость меридиана окажутся параллельными П₂. Отметим при этом, что точка К пересечения прямой s и осью остается неподвижной, а вращаемый меридиан в итоге совместится с главным меридианом - очерком фронтальной проекции поверхности вращения. Отметим точки пересечения фронтальной проекции главного меридиана и повернутой прямой. Возвращая обратным поворотом прямую s с найденными точками в исходное положение, находим положение точек 3 и 4.

Соединив, полученные точки кривой с учетом видимости получим линию пересечения плоскости α с поверхностью Ф.

Построение линии пересечения цилиндра с плоскостью общего положения заданными следами подробно рассмотрено при объяснении решения графического задания "Цилиндр".

82